IV. Réduire les équations de deux coniques à la forme

INVARIANTS ET COYARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 4f)'

Les constantes /7, b^ c sont les racines de Téquation (371, Ex. I)

aX * — 0X-' -I- e'X — A' = G,

et en résolvant les équations

x^ -+- J)'* -t- z^ = S, ax^ -+- /;j-* -4- c s' = S', «(^ -h c)a:*H- /;(c -h //) x'-l- <:(«-!- ^)3'= F,

on exprimera j:', r' et 2* au moyen des fonctions connues S, S' et F.

A la rigueur, il faudrait diviser d'abord les deux équations données par la racine cubique de A, puisqu'on veut les ramènera une forme dans laquelle le discriminant de S est égal à Tunité, mais il est facile de voir qu'on arrive au même résultat, en ne modifiant pas S et S', et en divisant F par A, après Ta voir calculé d'après les coefTicients des équations données.

V. Réduire à la forme indiquée précédemment 3x' — &XJ -f- 9/* — 7.x -h 4/ = o, 5j:' — i4«^/ •+■ 8j^'* — Gx — 2 — - o.

Les coeflicients À, 6, C,. . . des équations tangcntielle.>: sont alors

et Ton a

A=-9, 0=-54, (-)'-- -99, A' =-54, d'où ,

a = \^ b = iy c — 3 ;

ce qui donne pour F :

F = — 9(23j:'— Soxf-h 44j'— i8.r-H i2r — 4); par suite, en désignant les coordonnées nouvelles par de grandes lettres,

. X'-h Y»-hZ'= 3j7'— 6.r/-^9J^— 2x-+-4r, X' -^ 2 Y' -+- 3Z' ^ 5 j:^ — 1 4 xj -h 8/' — 6 j: — 2,

Des combinaisons

GS-^5'-F, F-3S-2S', 2S-h3S'-F, on lire respectivement

VL Trouver l'équation des quatre tangentes menées à S par les points où cette courbe rencontre S'.

RÉPONSE

(0S--AS')==4AS(e'S-F).

49^ CHAPITRE XVllI.

VII. On triangle est circonscrit à une conique donnée U, deux de ses sommets glissent sur deux droites fixes ax h- f*/ -i- vz, Vx -+- \t-'y-^ '^z; trouver le lieu du troisième sommet.

Nous avons vu (272, Ex. II) que, lorsque la conique et les droites sont définies respectivement par les équations

z' — xy=o^ ax — j'=o, bx — / = o, le lieu est représenté par

(rt-^^)'(^*-J9-) = {a — h)H\

Le deuxième membre de l'équation est égal au carré de la polairç par rapport à S de rinlcrsection des deux droites; celte polaire a pour expression générale

P — [ax-^ bx -h f;z) [uL-y — yy) -h [/ix -^ bf -i-fz)['jV — y'I)

d'a4lleurs, la relation ^ -h ^ = o, qui exprime que les droites sont conjuguées par rapport à S, devient dans le cas général (373) 0 = o, c'est-àdire

e = ÂAA'-i-Btxtx'-i-Cvv'

FC,uv'4- u'v)-^G(vV-^v'X)H-H(Ap'-+-).»=0.

L'équation du lieu, trouvée pour le cas particulier, du n* 272, devient donc dans le cas général

0»U-+-AP'=o.

VIIÏ. Un triangle est inscrit dans une conique S, deux de ses côtés sont tangents à S'; trouver l'enveloppe du troisième côté.

Prenons pour lignes de référence les côtés du triangle supposé fixe dans une de* ses positions, et soient

S = 2(/r3 -h gzx -h hxy) — G,

S' = a:' -h j* -+- z* — 2/z — 1XZ — iLxy — 'ihkxy — o,

les équations des deux coniques, x et/ étant les côtés tangente à S'. La conique /S -h S' est évidemment tangente au côté z; de plus, elle est Jixe. En effet, les invariants

vérifient la relation