A = 4AA

et réquation / S -t- S' = o prend la forme

(0'2 40ÎA)S -h 4AA'S' = o,

qui représente une conique fixe tangente au troisième côté du triangle. Lorsque B'^ = 4®^» le troisième côté enveloppe la conique S'.

IX. Les trois côtés d'un triangle sont tangents à une conique U, deux de ses sommets glissent sur une conique V; trouver le lieu du troisième sommet.

La solution de ce problème peut se ramener aux trois opérations suivantes : former Téquation des tangentes menées à U par le troisième sommet (x\y\ z'); trouver Téquation des droites qui joignent les points où ces tangentes rencontrent V; enfin, exprimer qu'une de ces droites qui doit être un des côtés du triangle, est tangente à V. Nous désignerons par U' et V les résultats obtenus en substituant aux coordonnées courantes dans U et V celles du troisième sommet.

Si l'on représente par P la polaire par rapport à U de {-r^y, z'), on aura pour Téquation des tangentes

UU'— P'=o.

L'équation des cordes d'intersection de ces tangentes avec V s'obtiendra en exprimant que DU'— P^-h ).V se réduit à deux droites. En égalant à zéro son discriminant, on trouve pour déterminer > l'équation du

second degré

VA'-h).F'-hAU'V'-:o.

Pour exprimer qu'une de ces cordes d'intersection est tangente à U, il suffit de former (372) le discriminant de fxU ■+- (UU'— P'-h XV), et d'écrire que l'équation en /a

/x'A -h fx(2U'A -h )^0) -+- U'*A -f- ).(eU' -h AV) -h )? 0' = o,

obtenue en l'égalant à zéro, a ses racines égales, ce qui donne la relation

En éliminant \ entre cette équation et celle obtenue plus haut

>'A'-i-)T'-+-AU'V'=o,

on trouve, pour le lieu cherché, l'équation

lôA'A'V — 4A(4A0'- 0»)F -^ U(4A0'-> 0')*= o,

qui se réduit à V — o, lorsqu'on a 4A0'= 0' (* ).

(*) On trouvera dans le Quarterly Journal of Mathematics^ 1. 1, p. 3/|4, une

4^4 CHÂPITBE XVIII.

X. Deux des côtés d'un triangle sont tangents à U, le troisième à aV -h b\, tandis que deux de ses sommets glissent sur V ; trouver le lieu du troisième sommet.

En suivant la même marche que dans l'exemple précédent, on voit que

le lieu cherché est l'une ou l'autre des coniques inscrites dans le qua-

drilatère formé par les quatre tangentes communes à U et à V, et définies

par l'équation

AA'VV-f-VF-h u'U^o,

dont les constantes > et ti vérifient la relation

a(xb — p«) ).'-!- «(4 Art -h 2B^)a^ — b^\y = o, dans laquelle on a fait

a=4AA', p = 0*— 4A0'.

XI. Les n côt^s d'un polygone sont tangents à U, tandis que /? — i de ses sommets glissent sur V; trouver le lieu du sommet libre.

Ce problème se ramène au précédent, car la droite qui passe par les deux sommets adjacents au sommet libre est tangente à la conique rtU -f- ^ V. Si Ton représente par a', a', a", p", a"', a" les valeurs de > et ot pour les polygones de « — i, w, /î -+- 1 côtés, il vient

On a pour le triangle V= a, u'= A'p, et pour le quadrilatère X*= p', |x''=a(iiAx-i-2&t^); en augmentant successivement le nombre des sommets, on trouve facilement les valeurs de ). et p relatives aux autres polygones (*).

XII. Les polaires des milieux des côtés d'un triangle, prises par rapport aune conique inscrite, forment un triangle dont l'aire est constante (M. Faure).

XIII. On joint par des droites chacun des sommets du triangle de référence aux points où le côté opposé rerxontre une conique; trouver la condition pour que ces droites passent trois par trois par un môme point.

RÉPONSE. nhc — 'if^h — ap — b^"^ — ch^ — o.

discussion de M. Cayley, relative au lieu décrit par le sommet d'un triangle circonscrit à une conique S, et dont les deux autres sommets glissent sur des courbes données. Lorsque ces courbes sont toutes deux des coniques, le lieu est du huitième degré, et touche S aux points où il est rencontré par les polaires, prises par rapport à S, des intersections des deux coniques.

(*) Voir Philosophical Magazine, t. Xlïl, p. 337.

1NVARIAT<TS ET COVARIANTS DES SfSTÈlHES DE CONIQUES. 49^

XIV. Trouver la condition pour qu'un point soit extérieur (ou intérieur) à une conique, autrement dit pour que les tangentes menées à laconique par ce point soient réelles (ou imaginaires) (M. Sylvester).

RÉPONSE. Le point est intérieur lorsque ^ et S' sont de même signe (ro/rn°285, Ex. III).

382. La théorie des invariants et des covariants permet de trouver facilement en coordonnées irilinéaires les formules équivalentes de certaines formules bien connues exprimées en coordonnées cartésiennes.

L*équalion générale d'une droite passant par un des points

imaginaires et à Tinfîni du cercle étant xàzysl— i-4-c = o, la condition pour que la droite Ix -h [xy -^v passe par un de ces points est X*4-/:Jt' = o; autrement dit, ces points ont },' -h jijt^ __ Q pour équation tangentielle.

Lorsque 2=:o, 2' = o sont les équations tangentielles de deux coniques, le discriminant de 2 h- kl' a pour expression

A» 4- ^ A9' -+- A W0 + /^W^ qui devient

A' -4- /rA(a H- 6) -f- h'{ab — A»)

pour 1'==:}? -f- /7.'.

Si donc, dans un système quelconque de coordonnées, on forme les invariants d'une conique et des points imaginaires du cercle, la relation 0' = o exprimera que la conique est une hyperbole équilatère, et 0 = o qu'elle est une parabole. Pour que la conique passe par un des points à l'infini du cercle, il faut que la condition

(a-hfr)*=:4(a6~ A') ou (« — 6)' h- 4A» = o

soit remplie, et elle ne peut l'être par des valeurs réelles que si la conique passe à la fois par ces deux points, car alors a^=b, h = o,

La relation X*-4-|u* = o (*) exprime (34) que la distance

(*) Cette condition implique aussi {n^ 25) que chacune des droites menées par un de ces deux points est perpendiculaire à elle-même. On peut, en partant de là, expliquer la présence, dans les équations de certains lieux, de facteurs

49^ CHAriTBB XVIII.

cercle el un couple de points, ces derniers sont les foyers de 1 (279). Pour trouver les foyers d'une conique définie par une équation numérique en coordonnées cartésiennes, on peut donc employer la méthode suivante : déterminer k d'après réquation du second degré

(flfc — A')A' -4- A(a -4- *)A- -♦- A' = o,

exprimant (fue le lieu 2 -4-/r(X' •+- p') représente deux points ; introduire Tune ou l'autre des valeurs de k dans l'équation de ce lieu qui se décompose alors en deux facteurs

et donne pour les coordonnées des foyers

»' ' T/^^ .»"' ff^*

L'une des valeurs de k correspond aux foyers réels, l'autre aux foyers imaginaires. La même méthode est applicable aux. coordontiées trilinéaires.

L'équation 2 -f-/r(X' + jul') = o représente en coordonnées tangentielles une conique homofocale de la conique donnée 2; en la transformant en coordonnées cartésiennes (285), on trouve, pour l'équation générale des coniques homofocales à S,

AS -+- A [C(^* -f-7») — 2 Gj: — aFj 4- A4- B] -f- Âr' =: o, et, par suite, pour les tangentes communes à ces coniques,

[C(a:'-4-7^) — aGar — 2F7-+-A-4-Bp=:4AS.

Si l'on décompose cette équation en deux facteurs,

[{X ~ ccY 4- (r-m [(^ - «')' 4- ir-^'Yl

on obtient les coordonnées des foyers, qui sont alors a, P;

EXERCICES, l . Trouver les foyers de la conique

ijc^ — ajr/-+- a/^ — ^.r — Sj-f- ii = o. L'équation du second degré en A est alors SX-^-h 4/-^ -+- A*= 0, d'où

Ton tire A' = — A, /"= — - A; d'ailleurs A = — 9. En partant de la valeur X* = 3, on trouve

6^' -t- aip'.-h 3v'-h i8p + I2v^-f- 3o\a -+- 3('A^-h ^jl^) = 3 (^ -{- 2 u -h V ) ( 3^ -*- u -f- V ),

ce qui donne (i, a), (3, i) pour les foyers. La valeur k'= 9 correspond

aux foyers imaginaires (2 ± /— i, 3 =p ^ — i).

n. Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole dé6nie par une équation en coordonnées cartésiennes.

L'équation du second degré se réduit alors au premier, et l'expression

(a -f- b) [AV -h Bu»-f- aFfxv -h iGva ■+- aH^] - A(V-i- fx>)

peut se décomposer en deux facteurs, x[ui sont

^ '^ ^' %(a-¥-b)G 2{a-hb)h ^

Le premier donne le foyer situé à l'infini et montre que Taxe de la courbe est parallèle à F x — G^. L'autre foyer a pour coordonnées les coefficients de > et fi dans le second facteur.

m. Trouver les coordonnées du foyer d'une parabole défmie par une équation en coordonnées trilinéaires.

Ces foyers sont représentés par l'équation

S'I = A(A'-h uJ^-h v'— ipCOsA — 2vXcOSB— '2>fiC0SC).

Les coordonnées du foyer situé à l'infini sont connues (^3), puisque ce foyer est le pôle de la ligne à l'infini. Les coordonnées de l'autre foyer sont alors

AsinA -f- HsinB -h GsinC* HsinA-h BsinB -h FsinC'

GsinA -+- FsinB -h CsinC

jSoO CHAPITEB ITllI.

385. La condition (61) pour que deux droites soient perpendiculaires entre elles

XX' -h [xix.'-hvv'—iixv' -h jul'v)cosA— (vA'4- v'X)cosB

— (À/yi'H- X'|^)cosC = o

exprime en même temps (293) que ces droites sont conjuguées par rapport à la conique

X*H-/x" -♦- v*~ 2/:jlvcosA— 2vXcosB — - 2X/JtC0sC = 0.

La relation qui existe entre deux perpendiculaires n*est donc qu'un cas particulier de celle que vériflent deux droites conjuguées par rapport à une conique flxe. Ainsi le théorème : Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même points n'est qu'un cas particulier du suivant : Les droites qui joignent les sommets correspondants de deux triangles polaires par rapport à une conique se coupent en un même point.

Sur la sphère (*), les deux points imaginaires et à Tinfini du cercle sont remplacés par une conique imaginaire fixe; tous les cercles peuvent être considérés comme des coniques ayant un double contact avec une conique fixe, le centre du cercle étant le pôle de la corde de contact; deux lignes sont perpendiculaires lorsque chacune d'elles passe par le pôle de l'autre par rapport à cette conique, etc.

La méthode des projections nous a permis de généraliser certains théorèmes en remplaçant dans leur énoncé les deux points imaginaires et à l'infini du cercle, par deux points quelconques. Ce qui précède nous autorise à donner à ces théorèmes une extension plus grande encore, en substituant une conique à ces deux points. Mais il ne faut pas perdre de vue que les théorèmes auxquels on arrive par cette sorte d'induction doivent être soumis à une démonstration ultérieure. Ainsi, c'est par cette méthode inductive que nous avons été conduit en partant du théorème : Le point de concours des hauteurs d*un triangle inscrit dans une hyperbole

( *) F'oirla. Géométrie à trois dimensions de M. G. Salmon, Chap.IX.

INVARIANTS ET COYARiAMTS BBS STSTÈHBS DE CONIQUES. 5oi

équilaière appartient à l'hyperbole^ aux propriétés des coniques assujetties à la relation 6 = 0, propriétés que nous avons ensuite démontrées à la fin du n"* 375.

Nons indiquerons, dans les deux numéros suivants, quelques-unes des recherches analytiques relatives aux théorèmes qui concernent les coniques ayant un double contact avec une conique fixe, et correspondent, ainsi que nous l'avons fait voir au n* 306, à une série de théorèmes relatifs aux systèmes de cercles.

386. Trouver la condition pour que la droite "kx -+• [ijr -hvz soit tangente à la conique S -hiVx h- //'r -t- >'z)*.

Il suffit de remplacer dans 2,a,6,c... para + >/', b -f- fx'%..., ce qui donne

la quantité entre parenthèses indiquant le résultat de la substitution de jULv'— fx'v, vX' — v'X, Xfx'— X'jtjL à a:, y, z dans S. Cette équation peut se mettre sous une autre forme: on a, en effet (29k),

[ax^ -4- by^ -\-. . .)(ax'*-f-6^"-f-.. .) — [axx' -^ byy^-^. ..y

un calcul analogue donne la relation

(A).' -+- B/x^ -+-. . .)( AX'> 4- B|:a" 4- . . . ) - ( AXX'-h. . .)' = A[a(/[xv'— ii'vY -+-...]»

dans laquelle le facteur (AaV + ...) est le premier membre de réquation

AXX'-4-B|ulj:x'-+-Cvv'

-f- F(|[jLv' -4- p'v) + G(vX' 4- v'I) 4- H (Xp/4- Va) = o,

qui exprime que les droites "kx -1- ar 4- y 2, Vx -h i>!y 4- v'z sont conjuguées. En posant alors

2'= Aa" 4- B^'^ 4- . . . , n = AXX' 4- Bp /x' 4- . . . ,

et remplaçant a(|utv'— jul'v)' 4-. . . par la valeur trouvée précé-

5o2 CHAPITRE XTIII.

déminent, on a enfin, pour la condition cherchée»

Si Ton considère X, ]ejl et y comme les coordonnées d*un point de la conique réciproque, ce qui est possible (321), on voit que cette dernière équation peut servir de démonstration analytique au théorème : Le système réciproque de deux co^ niques ayant un double contaci se compose de deux coniques ayant également un double contact.

Cette condition peut aussi se mettre sous une forme plus commode pour quelques applications, en définissant la droite "kx -^^ [Ly-^vZy non plus par les coefficients X, /x et v, mais bien par les coordonnées de son pôle par rapport à S. SI l'on désigne par P' la polaire [axx' '\- byy' -^, . .) de {x\ y', z') par rapport à S, et par P*' la droite Vx h- ii!y -f- v'z considérée comme polaire de (^'',^r'', z"), il suffit d'exprimer que P' est tangent à S + P"S en substituant aux fonctions 2, 2% II en X, |!A et V les fonctions équivalentes en Xy j, z.

Lorsque la polaire de ( x\ y\ z' ) est tangente à S, les coefficients Sty S), Ss de son équation vérifient la relation 2 =- o en X, f/., V, et le point {x^y^, z') appartient à S; 2 doit donc être remplacé par AS' (285), et de même 2' par AS". Quand deux droites sont conjuguées par rapport à S', il en est de même de leurs pôles; les coefficients Si, Ss» Sa satisfont donc à la relation II qui devient AR, si Ton représente par R le résultai de la substitution des coordonnées d'un des points [x'^y'^ z')y (x'^y^y z'') dans la polaire de l'autre. La condition pour que P' soii une tangente de S -h P"' prend alors la forme