Trouver la condition pour que les deux coniques

S H- ( À'o: + lify -+- v'2 ;', S -h ( Vx -+- p/^r -^ v"z Y

soient tangentes.

Ces coniques sont tangentes lorsqu'une de leurs cordes communes

( Vx -h ^'y -h y'z) ±[rx -h ii"y 4- v"z )

IlfVAIlUNTS ET COYARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 5o3

est tangente à Tune des coniques; et en remplaçant» dans la condition trouvée précédemment, Xpar V±V\ il vient, pour la condition cherchée,

(A -4- 2')(2'dz 2n -4- 2-') = (2'zhn)»,

qui peut se mettre sous la forme plus symétrique

(A^-2')(A4-2")==:(AIt^^

On trouverait de même que les deux coniques S -h P", S + P'* sont tangentes, quand on a la relation

(i + S')(i-f-S") = (id:R)\

EXERaCES.

I. Décrire une conique S + F' ayant un double contact avec S, et tangente à trois coniques données S -+■ P'^ S -+- P"', S h- P*^ qui ont avec S un double contact.

Soient x, /, z les coordonnées du p61e de la corde de contact de S avec la conique cherchée S + P', on aura les équations

(1 H- S) (n- S') = (iH- P')S (i -f- S)(i -f- S') = (i -h V')\

(n-S)(i-hS") = (i-+-P*)S

dans lesquelles S', S", S'' sont des constantes connues, tandis que S, P',... renferment les coordonnées x, Xy ^ du point cherché. Si l'on pose

i-+-S = /S n-S'=X"..., il vient «

Ar=i^P', kk'^i-h?', /r=n-P«',

et en observant que P', P, P*", A', X^, /'" comportent le double signe, on voit que le problème, eu égard à la combinaison de ces signes, admet trente-deux solutions. Les équations précédentes donnent

et en étiminant A-, on obtient Téquation

qui est celle d'une droite sur laquelle doit se trouver le pôle par rapport à S de la corde de contact de la conique cherchée. Elle est évidemment vérifiée par le point P* = P" = P" qui est un des centres radicaux (306) des coniques S h- P'', S -e P", S h- P'*^

5o4 CHAPITRE XVIII.

p/ pu p«r

Cette équation est aussi vérifiée par le point jr = js" = jsr dont nous

allons chercher la signification g^métrique. D'après le n® 386, les équations tangentielles des coniques S h- P" , S-f-P*^ sont respectivement données par

et réquation

représente les points d'intersection des tangentes communes à S + F' et

x' x' s -f- p" ; ces points dont les coordonnées sont 77- ± jr . . . , ont

pour polaires par rapport à S. Donc 77 = pr = tf représente le pôle

par rapport à S d'un axe de similitude (306) des trois coniques données.

Par conséquent, le pâle de la corde de contact chercliée se trouve siir Vune des droites qui joignent un des quatre centres radicaux au pôle par rapport à S d^un des quatre axes de similitude. Ce théorème n'est du reste qu'une extension de celui qui se trouve à la fin du n*^ 118.

Pour compléter la solution, nous chercherons les coordonnées du point

de contact de S 4- P* avec S -f- P''. Soient j — 77 ' • . . , ^^s coordonnées

de ce point, qui est un centre de similitude des deux coniques ; en rem-

plaint X par x -f- p x', dans //'= i-h P',. . . et désignant par R et

R' ce que devient l'équation de la polaire de (x',/', 2') lorsqu'on substitue Jf'» y'i ^"1 ^"'i /*» ^^ 2i^ï coordonnées courantes, on a

^/•' = I -t- P' 4- -^ S', A /• = I -H P" H- A R , /. r = IH- P"» -h ^ R';

par suite

A(/'- r) = F- PV i. (S'- R) , ,

IMYàRIàNTS BT COTàRUNTS DBS STSTkMBS DB C0NIQDB8. 5o5

d*où, en élimiDant h ,

Cette équation représente une droite surlaquelle doit se trouver le point de contact cherché. Cette droite joint évidemment un des centres radicaux au point déâni par les équations que Ton obtient en exprimant que

P', P", P" sont respectivement proportionnels à X'— ttj ^" "" p"'

h'^ — T7» ou bien à i, X'/*— R, ^'/'— R'. Et comme les polaires par

rapport à S + P" des trois centres de similitude des coniques S + P'', S -h P", S -h P'"' ont pour équations

(X'r- R)P'= P^ (>t'r- R')F= P", etc.,

la droite cherchée s'obtiendra en joignant Tun des quatre centres radicaux au pâle, par rapport à S + P'' d'un des quatre axes de similitude. Cette construction pourrait aussi, d'après le procédé indiqué au n** 121. se d^uire géométriquement des théorèmes du n*" 306. Les seize droites qu'on peut mener de cette manière rencontrent S + P'^ en trente-deux points, qui sont les points de contact des coniques satisfaisant aux conditions du problème (*).

(*) La solution que nous venons de donner de ce problème ne diflfêre pas au fond de celle qui a été donnée par M. Cayley {Crelle, t. XXXIX).

M. Casey {Proceedings ofthe Royal Irish Acudemy^ 1866) a donné une autre solution de ce problème en se basant sur des considérations de géométrie sphérique, et leur appliquant la méthode indiquée dans les n^' 121 (a) et 121 (^). La relation 121 (a), à laquelle sont assujetties les tangentes communes à quatre cercles tracés sur un plan et tangents à un cinquième, est Térifiée par les sinus des moitiés des tangentes communes menées à quatre cercles tracés sur la sphère dans des conditions analogues. Si donc les équations

représentent trois cercles pris sur une sphère (G. Salmox, Gtometry ofthree dimensions^ Chap. IX), les cercles qui leur sont tangents doivent vérifier la relation

\/;(s«-LJ4- V/* (s»-m)4- VvIs^-n) =0,

qui donne une solution 'du problème posé à l'Eiercice I.'On trouvera une Note à ce sujet à la fin du volume.

5o6 CHAPITRE ITIII.

II. Les quatre coniques qu'on peut mener par trois points fixes de telle sorte qu'eUes aient un double contact avec une conique donnée S, sont tangentes à quatre coniques qui ont aussi un double contact avec S (*).

Soit

S = x*H-^*-f- z' — îjzcosA — izxcosB — ajrrcosC = o; les quatre coniques passant par les trois points ont pour équation

et sont tangentes à la conique

S = [a:cos(B — c) -h rcos(C — A) -t- zcos(A — B)]*

ainsi qu'aux trois coniques obtenues en changeant successivement les signes de A, B et C dans cette équation.

in. Les quatre coniques qu'on peut mener tangentiellement à trois droites fixes j:,j, z de telle sorte qu'elles aient un double contact avec S, sont tangentes à quatre coniques qui ont aussi un double contact avec S.

Si Ton pose M = - (A + B + C) Jes quatre premières coniques seront

données par l'équation

S= [a:sin(M-A)-+-jsin(M~B)H-zsin(M-C)p

et celles qu'on en déduit en y changeant successivement les signes de A, B et G. Les quatre autres coniques sont représentées par l'équation

c r sin { Bsin | C sinjCsin^A sin|A8in|B"] * ^"" L*^ sinjA '^^ siniB '^'^ sinjC J

et celles qu'on en déduit en y changeant le signe de x et augmentant de i8o degrés les angles B et C, etc.

IV. Trouver la condition pour que les trois coniques U, V, W aient un double contact avec la même conique.

Cette condition s'obtient en éliminant )., fx et v entre l'équation

et les équations correspondantes qu'on obtient en exprimant que les coniques |xV — vW, vW — XUse réduisent respectivement à deux droites.

(*) Cette extension du théorème de Feuerbach (131, Ex.) peut recevoir encore une plus grande extension. Voir Quarterlj- Jûurnal of Matkematics, t. VI, p. 67.

INYAEIÂNTS ET GOYABUlfTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 607

388. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur la théorie des invariants et des covariants des systèmes de trois coniques, dont Tétude complète nécessite la connais* sance des propriétés des courbes du troisième degré.

Le lieu du point dont les polaires par rapport à trois coniques My\ etYf sont concourantes^ est une courbe du troisième degré, qu'on appelle le Jacobien des trois coniques.

En effet, en éliminant x, y, z entre les équations des trois polaires

U, a: -h U, j -4- U, z = o, V, ar -♦- V,^ -+- V, 2 = o, W.a:-hW,j-hW,a=o,

on obtient, pour Téquation du lieu,

U,(V,W,-V.W0-HU,(V,W.-V.W,)-hU3(V.W,-V.W.)=o.

Il est d'ailleurs évident que si les polaires d'un point A prises par rapport à U, Y, W se coupent en un même point, il en est de même des polaires de ce point prises par rapport à toutes les coniques du système /U -h m V -4- n W.

Lorsque les polaires, par rapport à toutes ces coniques, d'un point A du Jacobien passent par le point B, la droite AB est divisée harmoniquement par toutes les coniques, et par suite la polaire de B passe parle point A. Le point B appartient donc au Jacobien, et l'on dit qu'il correspond au point A. La droite AB est évidemment divisée en involution par toutes les coniques, et les points A et B sont les foyers de cette division. Et comme aux foyers se confondent deux points correspondants de la division, il en résulte que si une conique du système est tangente à AB, ce ne peut être qu'en un des points A et B. Lorsqu'une conique se réduit à un couple de droites se coupant sur AB, l'intersection de ces droites ne peut se trouver qu'en A ou B, à moins que la droite AB ne fasse ellemême partie de ce couple.

On peut, du reste, démontrer directement que lorsque /U 4-mV-h/i\V représente deux droites, leur intersection se

5o8 CHAPITRE XYIII.

trouve sur le Jacobien. En effet, celte intersection (292) vérifîe les trois équations

/U, -♦- mV, •+- nW, = o, /U, -f- mV, 4- #iW, = o,

/U, -h mV, H- nWj = o,

et l'équation du lieu, obtenue en éliminant /, m et n, est la même que celle trouvée précédemment. La droite AB, qui joint deux points correspondants du Jacobien, rencontre cette courbe en un troisième poin^, et il résulte de ce que nous venons de dire que la droite AB appartient au couple de droites issues de ce point, et compris dans le système /Un- mV-f- nW. L'équation générale du Jacobien, qu'on désigne habituellement par la lettre J, peut s'écrire de la manière suivante :

-[{abg)^{ahf}]x'X-[icah)-h{afg)]x^z -[(abf)-^(bgh)]r'x-[{bch)-^{bfg}]x'z

-[{caf)-^{cgh)]z'x--[{bcg)^{chf)]z\r

— [{abc) H- ii(fgh)]xxz=zo,

en représentant, pour abréger, par {abc) le déterminant des neuf coefficients a, 6, c, a', b\ c\ a"^ b" y c" .

Le Jacobien est un covariant qui est du même degré par rapport aux coefficients et par rapport aux variables.

EXERCICES

L Faire passer par quatre points une conique tangente à une conique donnée W.

Supposons les quatre points définis par rinlersection des deux coniques U et V. Le problème admet six solutions, puisqu'en remplaçant a,... partf -h /«', dans la condition (372) qui exprime que U et W sont tangentes, on obtient une équation du sixième degré en h. Le Jacobien de U, V et W coupe W aux six points de contact cherchés. Car la polaire du point de contact par rapport à V étant aussi sa polaire par rapport à une conique ^U + pV passe par l'inlerseclion de ses polaires prises par rapport à U et à V.

INVARIANTS ET G0TAR1ANT8 DBS STSTÉMBS DE COMIQUES. 5o9

II. Le Jacobien de trois coniques ayant un triangle autopolaire commun se réduit à trois droites.

Il est facile de vérifier que xyz = o est le Jacobien des coniques

On peut donc trouver l'équation des côtés du triangle autopolaire commun à deux coniques en formant le Jacobien (J) de S, S' et du covariant F, puisque ce triangle est aussi autopolaire par rapport à F (381, Ex. I). En comparant ce qui précède au résultat obtenu au n® 381. Ex. lY, on obtient l'équation '

J' = F*-F'(eS'-f-e'S)-hF(A'©S*-hAe'S'»)-4-F(e0'-3AA')SS'

- A'*AS» — AA^S'^-h A'(aAe'-e')S*S'H- A(aA'© - 0'»)SS".

m. Le Jacobien de trois coniques qui ont deux points communs se réduit à une droite et à une conique passant par ces deux points.

Il est évident, par la Géométrie, qu'un point quelconque de la droite menée par les deux points satisfait aux conditions du problème; le théorème peut d'ailleurs se vérifier facilement par l'analyse. Dans le cas particulier où les coniques sont des cercles, le Jacobien n'est autre chose que le cercle qui les coupe orthogonalement.

IV .Le Jacobien se réduit encore à une droite et à une conique lorsqu'une des coniques S est un carré parfait U.

En effet, L est un facteur du lieu. On peut donc mener quatre coniques tangentes à une conique donnée aux deux points (S, L) et en même temps à S'; l'intersection du lieu avec S" détermine les points de contact.

Lorsque les trois coniques sont : une conique, un cercle et le carré de la ligne à l'infini, le Jacobien passe par le pied des normales qu'on peut mener à la conique par le centre du cercle.

388 (a). Trouver la condition pour que la droite 'kx-^ ^y+vz soit divisée en involution par trois coniques.

En se reportant au n"" 335 et à la Note du n*^ Zk% on voit que la condition cherchée s'obtient en égalant à zéro le déterminant

cV — a gvk -h «v' c/!a' — ^/i^v -♦- ftv' ^*V — /v^ — gr v/Jt H- A V* c' X» — 2 g^' vk + a'v' c'^? — a/'/iAV H- 6'v' d lu — fv! — g'vii -+■ h' v'

5lO GUàPITRB XY11I.

qui, développé et divisé par v% peui se mettre sous la forme

V{bcf)-^lM^{cag)-hv^{abh)-hly[{chf)-{bcg)] -hX=v[2(ft/g^)-(6cA)]-4-^»X[a(c^A}-(c*a/)]

vV[2(aA/)-.(a6gf)] + X^v[(a6c) -4t/-^A)] = o,

en employant pour les déterminants l'abréviation indiquée précédemment. On désigne iiabituellement ce conlrevarianl par la lettre $. Sa forme suffit pour montrer que toute droite divisée en involution par les trois coniques U, V et W, Test aussi par troisconiquesquelconquesdusystème/U4-/nV4-nW. L'équation du lieu des points tels, que les tangentes menées par l'un d'eux aux trois coniques forment un faisceau en involution, peut se déduire de celle qui précède en y remplaçant \ [X, V par X, y\ z et a, 6, c. . . par les coefficients A, B, C,... de l'équation réciproque ou tangentielle.

389. Lorsqu'on forme le discriminant de /U h- m V -h /iW, on obtient une fonction en /, m, n, dont les coefficients sont les invariants du système de coniques. Tous ces invariants appartiennent à la catégorie de ceux que nous avons étudiés précédevnment, sauf un, qui est dans ce développement le coefficient de Imn, et qui se déduit du discriminant À d'une conique U en y remplaçant chaque terme abcy . . . par six nouveaux termes tels que

ab'd' 4- afcV -h a'b^c -h a'bc" H- oTbc' -h aTVc.

Il existe encore un invariant remarquable de ce système de trois coniques, qu'on obtient en se basant sur le principe suivant (*): Étant donnés un covariant et un cont revariant de même degré, on peut, en substituant dans Vun des symboles différentiels et opérant ensuite sur Vautre, obtenir un inva-riant. On a ainsi, en partant du Jacobien et du conlrevariant

(*) Foir la traduction française de V Algèbre supérieure de M. SalmoD, p. io8.

INTABUNTS ET GOYARUlfTS DM STSTfcXES DB CONIQUES. 5ll

trouvé au numéro précédent,

T={abcy-{- /i[abf){acf) -h ^{bcg)(bag) -h ^{cah)icbh) -^6iafg){bfg)-^8{afh)(cfh)-^8{cgh){bgh) -8{agh){bcf)^6[bhf){cag)-8(cfg)(abh) li[abc)(fgh)^8[fgh)\

Cet invariant a été indiqué par M. Sylvester, qui l'a obtenu par un procédé différent de celui que nous venons d'employer,

389 (a). Qn peut simplifier l'étude. de certaines propriétés des systèmes de trois coniques, en rapportant chacune de ces courbes à quatre droites x, /, z, w et mettant leurs équations sous la forme

U = ax^ -h éj* -h cz» -f- dw^y V= a!x^ -h Vy^ -f- c'z* -f- d[w\

à laquelle il est toujours possible de les ramener d'une infinité de manières. En effet, chacune de ces équations renferme trois constantes indépendantes, et chaque ligne est définie par deux constantes; la forme ci-dessus contient donc dix-sept constantes, tandis que la forme employée habituellement pour U, V, W n'en renferme que trois fois cinq, ou quinze. D'ailleurs, les équations de quatre droites vérifient toujours une relation de la forme tv=Xx 4-/xj4- vz, que, pour plus de symétrie, on peut écrire de la manière suivante :