X -h/ 4- 2 4- tv = o

en supposant les constantes >, /x et v contenues implicitement dans Xyjr et z.

Comme application, nous résoudrons le problème suivant.

Trouver la condition pour que les trois coniques U, V, W passent par un même point.

Si l'on résout, par rapporta ^7% j*, z% tv', les équations

5ia ghàpiteb xviii.

et que Ton représente par A, B, C, D les quatre déterminants {bcd),{dca), (dab), {bac), on voit que jr*,/', z*, (v* sont respectivement proportionnels à A, B, C et D, et, en substituant

dans l'équation

il vient, pour la condition cherchée,

ou, en faisant disparaître les radicaux,

(A»-t-B»-f-C»-t-D'— aAB— 2BC — ^CA- 2AD-~2BD — 2CD)» = 64ABCD.

Le premier membre de celte équation est le carré de l'in* variant T obtenu précédemment, le second membre est un invariant que nous désignerons par la lettre M. La relation M = o exprime que l'on peut trouver des valeurs de /, m, n telles, que /U + mV + nW se réduise à un carré parfait. Et comme H est du quatrième degré par rapport aux coefficients de chaque conique, on peut rendre S -h /U 4- mV -f- nW un carré parfait de quatre manières [voir n** 373, Ex. III), puisqu'en égalant à zéro l'invariant M relatif à S + /U, V, W, on obtient une équation du quatrième degré pour déterminer /.

389 (6). En général, trois coniques quelconques peuvent être considérées comme les polaires de trois points relativement à une même courbe du troisième degré, ou cubique; autrement dit, leurs équations peuvent se ramener à la forme

a{x^ — ^X^) ~*~ P(/' — 2zx) 4- y'(z' — 2ar/) = 0.

Si Ton emploie pour les équations des coniques la forme indiquée au numéro précédent» Téquation de la cubique dont elles se déduisent pourra s'écrire

et Ton voit que si l'invariant M s'annule ( ce qui ne peut arriver que lorsqu'une des expressions A, B, C, D est nulle), il y a

INVARIANTS ET GOVARIANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 5l3

exception, et les coniques ne peuvent être considérées comme déduites de la même cubique.

Dans le cas général, on peut obtenir Téquation de la cubique en formant le Hessien (*) du Jacobien des trois coniques, et retranchant du résultat le produit du Jacobien par l'invariant T.

En opérant sur le contrevariant $ du troisième degré successivement avec chacune des coniques, ou sur le Jacobien avec leurs réciproques, on obtient les contrevariants et les covariants linéaires qui représentent géométriquement les points dont les coniques données sont les polaires, ou les lignes polaires de ces points par rapport à la cubique.

(*) Foir la traduction franoaîsc de V Algèbre supérieure de M. Salmox, p. 96.

MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS

390. Les problèmes relatifs au tracé des tangentes, à la détermination des aires et des longueurs d'arcs des courbes, peuvent être traités par deux méthodes différentes : l'analyse et la géométrie. Renvoyant le lecteur aux ouvrages spéciaux pour l'emploi de la première, nous nous bornerons à exposer dans ce Chapitre quelques exemples de la seconde, afin de donner une idée des procédés employés par les géomètres avant la découverte de l'analyse. Ces procédés, en dehors de l'intérêt historique qui s'y rattache, peuvent, dans certains cas, conduire plus simplement et plus rapidement à une solution que l'analyse : qu'il nous suffise de rappeler ici le beau théorème énoncé au n* 400, théorème qui n'avait pas même été entrevu par ceux qui ont appliqué le calcul intégral à la rectification des sections coniques.

A mesure que le nombre des côtés d'un polygone inscrit dans une courbe augmente, l'aire et le périmètre du polygone se rapprochent de l'aire et du périmètre de la courbe; le côté du polygone tend à coïncider avec la tangente menée à la courbe par son extrémité. Lorsque ce nombre devient infini, le polygone se confond avec la courbe, et la tangente en un point coïncide avec la droite qui le joint à un autre point infiniment voisin.

A mesure que le nombre des côtés d'un polygone circonscrit augmente, son aire et son périmètre se rapprochent de l'aire et du périmètre de la courbe, et le point d'intersection de deux de ses côtés consécutifs tend à coïncider avec le point de contact d'un de ses côtés.

Lors donc que nous voudrons déterminer l'aire ou le péri-

MÉTHODE DBS INFINIMENT PETITS. 5l5

mèire d'une courbe, nous pourrons substituer à cette courbe un polygone inscrit ou circonscrit d'un nombre infini de côtés; de plus, nous pourrons considérer une tangente comme la corde menée par deux points infînimenl voisins de la courbe, et un point de la courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines.

391. I. Trouver la direction de la tangente menée en un point B du cercle.

Dans un triangle isoscèle AOB {fig. 1 1 1 ), formé par les deux rayons OA, OB et la corde BA qui joini leurs extrémités,

Fig. III.