PS "" CT

l'expression du rayon de courbure se réduit à

On démontrerait de même le théorème suivant :

Dans un système de deux coniques homofocales S et S' se coupant en ky le centre de courbure correspondant 'au point K dans la conique S est par rapport à la conique S' le pôle de la tangente en k à la conique S.

399. Si par un point T d'une ellipse on mène deux tangentes ÏP, TQ à une ellipse homofocale, l'excès de la somme de ces tangentes sur tare quelles interceptent est constant (*).

Si l'on prend un point T' ijlg' 121) infiniment voisin du

Fig. 121.

premier, et que Ton mène les tangentes T'P', T'Q' et les perpendiculaires TR et T'S à PT' et TQ (3W), il vient

PTzz=PR=PP'-|-P'R

(*) Ce beau théorème a été découvert par le D"^ Graves, qui Ta énoncé dans Ba traduction des Mémoires de M. Ch-sles sur les cônes et les coniques spbériques.

MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS. 627

(P'R pouvant être considéré comme le prolongement de PP');

de même

Q'T'=QQ'-f-QS.

Et comme (194) les angles TÏ'R, T'TS sont égaux, on a

par suite,

PT-f-TQ'=PT'-HT'Q', d*oii Ton déduit

(PT-f-TQj — (FT'-hT'Q') = PF-QQ'=PQ-P'Q'.

Corollaire. — Le théorème est encore vrai pour deux courbes telles, que les tangentes TP, TQ menées par un point T de la courbe extérieure à la courbe intérieure fassent des angles égaux avec la tangente TT' menée en T à la courbe extérieure,

400. Si Von mène deux tangentes TP, TQ à une ellipse par un point T d'une hyperbole homofocale, la différence des arcs PK et QK est égale à la différence TP — TQ des tangentes (* ).

En prenant un point T' (Jig, 122) infiniment voisin et répétant la construction du numéro précédent, on arjive aux relations

(T'F- P'K) - (TP- PK) ==T' R,

(T'Q'-Q'K)-(TQ-QK)=rS.

Mais T'R=T'S, puisque (189) TT' est la bissectrice de l'angle RT'S. Donc la différence entre l'excès de TP sur PK et celui de TQ sur QK est constante, et comme, dans le cas particulier où T coïncide avec K, ces deux excès et, par suite, leur différence s'évanouissent, il s'ensuit qu'on a, dans tous

les cas,

TP-PK=:TQ-QK.

(*) Cette extension du théorème précédent a été donnée par Mac-Cullagh {Dublin, Exam. Papers, i8/|i, p. 4i ; l^7, p. 68 et p. 83). M. Chasies y est arrÎTé de son côté {Comptes rendus des séances de r académie des Sciences, octobre i8/|3, t. XVII, p. 838).

Corollaire. — Un quadrant elliptique peut être divisé de telle manière que la différence des deux segments soit égale à la différence des demi-axes. Il suffit, en efîel, pour déterminer

Fig. 133.

le point de division, de faire passer une hyperbole homofocale à l'ellipse donnée par l'intersection des tangentes menées à l'ellipse aux extrémités des axes. Les coordonnées x et j des points d'intersection sont, du reste.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Fagnani.

401. Si tous les sommets, moins un, d'un polygone circonscrit à une conique glissent sur des coniques homofocales, le sommet libre décrit une conique homofocale.

Lorsque le sommet ï d'un angle PTQ {flg. 121) circonscrit à une conique se meut sur une conique homofocale, si l'on désigne par a et b les diamètres parallèles k TP, TQ ; par a et ^ les angles TPT', TQ'T' que font chacun des côtés avec leurs positions consécutives, on a la relation aa = bPy qui résulte des égalités ( 399)

TR = T'S, TR = TP.a, T'S = T'Q'.(3,

et de ce que ( 149) TP et TQ sont proportionnels aux diamètres qui leur sont parallèles.

Réciproquement, quand on a aa = b^, le point T se meut sur une conique homofocale. En efTel, en reprenant les équa-

MÉTBODK DES IUFINIMENT PETITS. 521)

tioDs qui précèdeni dans Tordre inverse, on arrive à régalilc TR==T'S qui montre que TT' fait des angles égaux avec TP, TQy et, par suite, coïncide avec la tangente à la conique homofocalc menée par le point T. Le point T se trouve donc sur cette conique.

Si Ton désigne par a, 6, c, . . . , /i les diamètres de la conique inscrite, parallèles aux côtés du polygone, et par a, (3, y,. .., y les angles compris respectivement entre deux positions consécutives des côtés, les relations

aa = b^, b^ =z cy,, . , miJL=inv

expriment que tous les sommets, moins un, glissent sur des coniques homofocales, et Téquation qui en résulte

aa = nv

montre que le dernier sommet glisse aussi sur une conique homofocale (*).

(*) Cette démonstration a été donnée par le D' Hait {Cambridge and Dublin Math. Journ , t. IV, p. iqS).

53o NOTES.