SUR LE THÉORÈME DE PASCAL
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M. Steiner est le premier qui appela (*) Tattention des géomètres sur la figure complète obtenue en joignant de toutes les manières possibles six points pris sur une conique , par Ténoncé d'une série de théorèmes qui furent corrigés et éteudus par M. Plucker (**). Ce sujet a encore été repris plus récemment (***) par M. Cayley et surtout par M. Kirkman, qui Font enrichi de nouveaux théorèmes.
' Nons exposerons dans cette Note les plus importants de ces théorèmes dont la plupart peuvent s'obtenir à Taide des principes les plus élémentaires de la théorie des combinaisons, et des théorèmes suivants ainsi que de leurs réciproques :
Lorsque les droitfs fjui Joignent les sommets eorrespomla/its de deux triangles concourent en un même point y qui est le centre iVhomnlogie des deux triangles, les intersections des côtés correspondants sont situées sur une ligne droite, qui est l'axe d'/iomohgie (60, Ex. IIl).
Lorsque dans un système de trois triangles, les intersections des côtés correspondants de deux quelconques d'entre eux sont situés en ligne droite, les centres d' homologie du premier et du second triangle, du second et du troisième, du troisième et du premier sont sur une même ligne droite.
Prenons sur une conique six points a, h, c, d, i-'^/que nous appellerons les points?. On peut les joindre deux h deux par quinze droites ab, ac, ad,,.., qui seront les droites C. Chacune d'elles, ab par exemple, rencontre les quatorze autres; quatre au poiut a, quatre au point b, par conséquent six en des points (ab, cd), . . . distincts des points F et que nous appellerons p. l\ y d quarante-cinq points p, puisque chaque ligne C en contient six, et qu'il passe deux lignes C par chacun d'eux.
(*) Annales de Gergomie, *
(■*) Journal de CrcUe, t. V, p. 27.5.
(***) Cambridge and DnbUn Mat liematical Journal, t. V, p. i85..
Si Ton prend les côtés de Thexagone dans Vordre abc clef, le théo- Tèmo de Pascal exprime que les trois points p, (ab, fie), (rfi^frt)^ (Ar, ef) sont situés sur une même droite qui est \e Pascal abcelef et q\xe nous désignerons le plus souvent par la notation
ab,rel.rf de.fa.bc
4)0ur indiquer les points par lesquels il passe.
Par chaque point/?, on peut mener quatre Pascals. Ainsi le point [ab^ de) appartient aux quatre Pascals abalef nbfd(c, abcedf abfedc. On trouvera, par conséquent, le nombre des Puscals, en multipliant par 4 le nombre des points /;, et en divisant le produit par 3, puisqu'il } a trois points/; sur chaque Pascal. Il y a donc soixante Puscals. On aurait pu obtenir ce résultat plus directement, en calculant le nombre d'arrangements possibles des lettres r/, ^,c, r/, e^f.
Considérons les trois triangles
(i) ab,cd,€f
(^) dc.fa.bc
(3) i'j\be,ad
-définis par leurs côtés. Les intersections des côtés correspondants de (i) •et (a) appartiennent au même Pasciil ; par suite les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un même point. Ces droites sont les trois Pascals
ab,de.cf i ( cd.fa,be ] ^ ef,bc.ad ( cd,fa,be \ \ cf,bc,ad \ \ ab,de,rf \
-et nous avons ainsi le théorème de Steiner énoncé au n" 268. Leur point de concours, que nous appellerons te point g^, sera dé&igné par la notation
ab.de.rf \ cd» fn.be >j (f,bc,ad )
•elle montre que sur chaque Pascal, il n*y a qu'un seul point ^, puis •qu'étant donné !e Pascal
j ab.de.cf |
( cd,fn,be j
on obtient un point g^ en ajoutant à chacune de ses colonnes verticales, un nouveau terme formé des deux lettres qui n'entrent point dans les
deux termes de cette colonne. Et comme il passe trois Pascals par chaque point g', il y a en tout vingt points^.
Les droites qui dans les triantes (2) et (3), (i) et (2) joignent les sommets correspondants coïncident respectivement et sont concourante;^ ; on voit donc, en se reportant au théorème réciproque de la deuxième proposition rappelée plus haut, que les trois ^.r^'.r de ces trois triangles concourent en un même point
ab . c(L ef
fie, fa. bc
\ cf.be, ad )
qui est un point g", conjugué harmonique par rapport à la conique de celui trouvé précédemment. Les vingt points g forment donc, ainsi que la montré Sleiner, dix couples de points conjugués. Les Pascals qui passent par ces deux points g^ correspondent respectivement aux hexagones «Ar/è'r/, nfcdeb , adcbef; abcdef , afcbed^ adcfebj dans lesquels les sommets de rang impair conservent la même position relative. Soient les trois triangles
(1) ab cd cf
\ ab.ce.df ) ( cd.bf.ae 1 ( ef.bd^ac j ( dcbf.ac \ \ af.cr.bd ( ( bc,ae,df \
\ ab.re.df ) ( cd.bf.ae | l ef.bd.ac { ef.bd.ac i ( bcacdf j ( ad.cc.bf
Los intersections des côtés homologues de (1) et (4) sont trois points qui appartiennent au même Pascal ; par suite, les droites qui joignent les sommets correspondants concourent en un même point. D*ailleurs ces droites sont les trois Pascals
\ ab.ce.df ) \ cd.bf,ae j ( vf.ac.bd | ( cd.bf.ae \ ( ef.ac.bd \ { ab.df.cc \
Leur point de concours
ab.ce.df cd.bf.ae ef.ac.bd
sera un point h, dont la notation diffère de celle d un point g en ce qu'elle ne renferme qu'une seule colonne verticale comprenant les six lettres sans^ omission ni répétition.
Sur chaque Pascal
( ab,cd.ef
{ dcnf.bc se trouvent les trois points //
€ib,rd»ef \ i ab.cd.ef \ l ab.cd.ej de,af,bc )) l dc.af,'bc >j < de,af,bc
• Il »' Il V
cf,bd,ae / ( acbcdf ) ( bf.cc.ad
(Les colonnes placées sous le signe — sont celles qui contiennent les six lettres. ) Nous avons ainsi le théorème de Sleiner, étendu par M. Kirkman.
Les Pascals se coupent trois par trois y non-seidement atix vingt points g de Steiner, mais encore en soixante antres /x/ints h.
La démonstration du n° 2B8 s'applique aussi bien au théorème de M. Kirkman qu'à celui de Steiner.
Les lignes qui dans les triangles (i) et (5) joignent les sommets correspondants se confondent avec les droites analogues des triangles (i) et (4) ; les côtés homologues se coupent donc sur une même droite, qui est un Pascal. De même, les côtés homolo^'ues de (4 ) et (5) se coupent aux trois points h
[ ab,ce.df \ / ae,cd,bf \ ( acbd.ej \
de,bf.ac >> / bd,af.cc >» < df.ae.bc >>
cf,ae,bd ) ( ac.be. df ) ( ce,bf.ad )
qui sont en ligne droite.
De plus les axes de (4) et (5), de(i] et (4), de (i) et (5) concourent ^n un même point, qui est le point g
Iab.cd.ef \ . de,af,bc Vj \ cf.be. ad )
dont la notation s'obtient en combinant les trois colonnes verticales complètes, des trois points //. On a ainsi le théorème suivant :
U y a vingt lignes G , qui contiennent chacune un f}oint g et trois points h.
Ces lignes ont été indiquées par M. Gayley et par M. Salmon. La démonstration donnée plus haut est celle de M. Cayley. On peut démontrer de la même manière (\\ie les vingt lignes G passent
quatre par quatre, par quinze points i. En effet les quatre droites G sur lesquelles se trouvent les points //, qui dans la notation précédente onl une colonne verticale commune, passent par le même point. Si Ton considère trois Pascals passant par un même point //,
j ab,ce.df ) ( dcbf.ac ) l cf.ae. { de.bf.ac ) \ vf.acbd \ \ ab,df.
cf.ae.bd ce
Îac, bf.de ) ( bf,ce.ad j | bd.ac. dj.accb j ( ae,bd.cf \ \ ce,df,i
on peut, en prenant sur chacun d'eux un point p^ former un triangle ayant (df.ac)^ (bf,ae)y [bd.ce) pour sommets, et par suite pour côtés
bd.ac. ef fib
Si de plus on prend sur chacun d eux un point//, en écrivant sous chaque- Pascal «/, cd^ bcy on forme un Ir'angle dont les côtés sont
ac.bf.de j \ cf.ne.bd \ | df.ab^ce be.cd.af \ \ be.cd.af \ \ be.cd.af
Les intersections des côtés homologues de ces triangles, qui doivent ciresitués en ligne droite, sont les trois points g
be.cd.af \ i be.cd.af \ / be.cd.af
nc.bf.de J» \ cf.ae.bd m < df.ab.ce }»
ad.bf.ce ) ( ac.cf.bd
nc.bj.de ; df.ae.bc )
auxquels on peut en ajouter un quatrième
be.cd.af \
cf.ab.de >j
ad.ef.bc ) •
en se guidant sur la symétrie de la notation, qui fait voir que ce quatrième point doit se trouver sur la droite déterminée par les trois autres. Ces points g sont du reste les seuls dans Texprcssion desquels on puisse faire entier be.cd.af. D'diilcurs on peut former quinze produits de la fonne be.cd.af^ ce qui donne le théorème de. Steiner.
l^s points g sont situés quatre par quatre sur quinze droites I.
Les théorèmes que nous venons de démontrer sont assujettis, ainsi que Ta fait remarquer M. Hessc, à une certaine loi de réciprocité. Ainsi il y a soixante points /i de Kirkman auxquels correspondent soixante\\^e&^ de Pascal. Par chacun des vingt points g- de Steiner passent t mis Pascals H et une ligne G; à chacune dos vingt droites G appartiennent trois points /r
de Kirkman et im point g de Sleiner. Les vingt lignes G passent , quatre par quatre, par quinze points i, et les vingt points ^g sont situés, quatre pair quatre, sur f/uinze droites I.
Les indications suivantes, qui peuvent fournir une démonstration de quelques-uns des théorèmes précédents, servent en outre à déterminer le point h qui correspond au Pascal obtenu en prenant les sommets dans un ordre déterminé abrdef. Considérons les deux triangles inscrits ace^bdf : leurs côtés sont tangents à une même conique (335, Ex. IV ), et Ton peut appliquer le théorème de Brianchon à Thexagone dont les côtés sont ce^ df^ ae^ hf^ ac^ bd. En prenant les côtés dans cet ordre, les diagonales de rhexagone sont les trois Pascals concourant au point h
ce,i)f,ad \ df.nc.ùe M ae,bd,cf )
et puisqu en conservant les côtés de rang impair, on peut effectuer sur les trois autres une permutation circulaire, on voit, d'après le théorème réciproque du théorème de Steiner^ que les trois points de Brianchon qui résultent de cette permutation appartiennent à une même droite : par suite, qu'il y a trois points h sur une ligne G. En partant du même hexagone circonscrit, on voit, en outre, que les droites qui joignent respectivement les points a et (bc,df)^ d et (acef) se coupent sur le Pascal abcdef^ et que chaque Pascal contient six intersections analogues.
Dans une publication récente (*], M. Cayley a déduit les propriétés de cette figure en la considérant comme la projection des intersections de six plans.
