DES SYSTÈMES DE COORDONNÉES TANGENTIELLES

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Dans le cours de cet Ouvrage , nous avons habituellement considéré comme Coordonnées tangentielles d'une droite /a + m^ +/'7^ les constantes /, /n et /ide l'équation de cette droite (70), et nous avons appelé équation tangentielle d'une courbe, la relation qui doit exister entre ces constantes pour que cette droite soit tangente à la courbe. Ce système, auquel on peut du reste ramener tous les autres systèmes de coordonnées tangentielles, nous paraissait lié d'une façon plus intime aux

(*) Qtiarterfy Journal^ l. IX, p. 3/|8.

théories qui font l'objet de ce Traité. Nous donnerons dans cette Note quelques indications complémentaires sur ce système, et nous exposerons sommairement les principes de quelques autres sytèmes de coordonnées tangentielles.

Nons avons vu (132, Ex. VI) que Téqualion tangentielle d'un cercle de rayon r, ayant son centre en (a', fî', y') est de la forme

(/a'H-///jV-+-w77

= r* (/* -h m- -h /i' — 2W/Î cos A — 'Àni cosB — a/z/i cos C).

En égalant séparément son deuxième membre à zéro, on obtient une équation qui se décompose en deux facteurs et, par suite, représente deux points que nous allons déterminer. Ce produit a été obtenu, en formant, dans le développement de /a -hm^ -h ny (Gl ) la somme des carrés des coefficients de x etr, /cos a -+- m cos p-hn cos y, / sin a -+- m sin 6 -k « sin y ; d*ailleurs la relation a^-hb^ = o exprime que la droite ajc -+- b^ -h c = o

est parallèle à Tune ou à l'autre des droites x±:yy[^\ = o. Ces deux points sont donc les deux points imaginaires et à l'infini du cercle.

Ce résultat peut du reste se déduire directement de l'équation tangentielle du cercle que nous venons de rappeler. Soient .^n effet &i et ta' les deux facteurs qui forment le deuxième membre de Téquation, a le centre; cette équation pourra se mettre sous la forme a*= r*ww', qui montre que 0) et ta' sont les points de contact des tangentes menées au cercle para.

De même, si, pour former l'équation tangentielle d'une conique dont les foyers sont donnés, on exprime que le produit des distances d'une tangente aux foyers est constante, on obtient la relation

(/a' H- mp' ^ ny' ) ( /a" h- mp" -h ny") = ^'ww',

qui montre que la conique est tangente aux droites qui joignent les deux foyers aux points w,w' (279).

Le résultat obtenu en substituant les coordonnées tangentielles d'une droite dans l'équation d'un point est proportionnel à la distance de la droite à ce point (61 ) ; et en inlerprétimt, d'après ce principe, les équations tangentielles ap = /-y^, ay = Xp% on retombe sur les théorèmes démontrés comme réciproques au n"* 311. De même, le résultat obtenu en substituant, aux coordonnées courantes de l'équation du cercle, les coordonnées tangentielles d'une droite, est proportionnel au carré de la corde interceptée par le cercle sur la droite ; si donc l et ^' représentent deux cercles, l'équation 2 = PV exprime que l'enveloppe d'une droite, sur •aquelle deux cercles donnés déterminent des segments qui sont dans un

NOTKS. 537

rapport conslint) est une conique qui touche les tangentes communes aux deux cercles.

Remarquons enfin qu*un système de deux points ne peut pas être représenté par une équation irilinéaire, pas plus qu'un couple do droites par une équation tangentielle. Lorsqu'on se donne une équation tangentieile représentant deux points, et que Ton forme, comme au n° 285 , l 'équation trilinéaire correspondante, on obtient pour résultat le carré de réquation de la droite qui joint ces deux points, mais toute trace des points eux-mêmes a disparu. De même, l'équation trilinéaire du couple de droites passant ^par un point (a, p', 7') correspond à l'équation tangentielle ( /a' -h tfip' -h ny'y = o. D'ailleurs, une droite est tangente à une courbe lorsqu'elle la rencontre en deux points qui coïncident, et quand une conique se transforme en un couple de droites, toute droite qui passe par leur intersection peut être considérée comme une tangente du système.

La méthode des coordonnées tangentielles peut être présentée sous une forme qui ne suppose aucune connaissance préalable des coordonnées cartésiennes ou trilinéaires. De même que, dans ce dernier système, nous avons défini la position d'un point par les rapports mutuels de ses distances à trois droites fixes, de même nous pouvons (311) définir une droite par les rapports mutuels de ses distances à trois points fixes. Il est alors facile de voir, en suivant la même marche qu'au n*^ 7, que si > et f^ sont les distances à cette droite de deux points A et B, la distance du point, qui divise AB

dans le rapport de /w à / a pour expression —z : par suite, la relation /a + i/ifA = o, qui exprime qu'une droite passe par ce point, peut être considérée comme l'équation de ce point. Ainsi À h- ;* = o représente le milieu de AB, et >. ~ fx = o est l'équation d'un point situé à l'infini sur ÂB. On démontrerait de même (7, Ex. VI) que A h-^/^ -h wv = o représente un point 0 (/îg. 39, p. 87 ) qu'on peut obtenir en divisant respectivement, soit BC et AD dans les rapports de n à //?, et de m + /< à /, soit AC et BE dans les rapports de / à /2 et de / h- /i à m, soit enfin AB et CF dans les rapports de //? à / et de / + m à n. Si l'on observe que le rapport des triangles AOB et AOG est le même que celui de BD à BC, on voit que Ton peut mettre l'équation du point 0 sous la forme

BOC.A -+- COA.fA-hAOB.v = o,

ou, en remplaçant l'aire de chaque triangle BOC par sa valeur p'p"sinO

Xsinô ixsinO' vsinO" • h*- , -H r- = o.

Les coordonnées de la droite à l'infini sont > = ja = y, puisque tous les points situés à une distance finie peuvent être considérés comme également distants de cette droite ; par suite, le point /À + //i/a + nv sera situé à Tinfini , quand on aura / + m + /i = o : plus généralement, une courbe est tangente à la droite à l'infini lorsque la somme des coefficients do son équation est égale à zéro. On verrait, de même, que les intersections des médianes, des bissectrices et des hauteurs du triangle de référence ont respectivement pour équations

^ -h pt -h V = o, "X sin A -h fx sinB -f- V sinC = o, X tangA H- Il tangB -h v tangC = o.

Nous bornerons ici l'étude des applications de ces coordonnées, parce qu*en définitive , elles ne diiïérent que par un facteur constant de celles dont nous avons fait usage habituellement. En effet, la distance d*un point (a', p',7') à une droite /a ■+■ m^ -h /17 a pour valeu r l'expression (G î)

/a'-+- wp'4-/ï7' y/* -+- ///* -H «' — 2////Î cosA — 2/1/ cosB — ilm cosC

dans laquelle le dénominatenr est indépendant de la position du point. Si donc /?,/?', //représentent les distances des sommets du triangle de référence aux côtés opposés, les distances X, p et v de ces sommets à cette droite sont respectivement proportionnelles à //?, mp\ np^\ et on peut facilement transformer les équations langentielles ordinaires, qui sont homogènes en /, m, /i, en de nouvelles équations tangentielles exprimées au moyen des distances X, p et v. Il est d'ailleurs évident, d'après ce que nous venons de dire, que les valeurs de \y ^ et y vérifient la relation

—:,-\- ^H--^ — 2 -^T-^COSA— 2-,- COSB — 2-i-,C0SC= I-

p p p pp pp pp

Nous avons du resce indiqué (311 ) la marche à suivre pour déduire de l'équation trilinéaire d'une courbe l'équation en coordonnées tangentielles de la courbe réciproque.

Au système de coordonnées tangentielles, défini par trois points de référence, se rattachent deux autres systèmes, qui en paraissent indépendants de prime abord : ce sont ceux qu'on obtient en supposant qu'un ou deux des points de référence s'éloignent à l'infini.

Supposons qu'un des points de référence C {fig* I23) soit à Tinfini; y et p" deviennent à la fois infinis ; mais leur rapport reste fini et égal à sinCOE,DOE étant une droite quelconque menée par le point 0. L'équation du point donnée plus haut prend alors la forme

sin G X sinô' u .

p smCOh p smCOE