N0TB

Lorsque le point 0 est donné, elle ne contient que les deux variables A : sinCOE, fA : sinCOE, qui, en raison de Tégalité sinCOE = sinODA, peuvent êtres remplacées par ÂD et BE. En d'autres termes, si Ton prend

pour coordonnées les segments AD et BE déterminés par une droite variable DE sur deux parallèles fixes AD et BE, une équation quelconque /i>H-ôfjt + c = o représente un point et peut être considérée comme la forme prise par Téquation homogène âf>-f^fA + cv=: o, lorsque le point V = os^élpigne à Tinfini. [Voirif 69.)

Uexemple suivant se rapporte à l'emploi de pareilles coordonnées. On sait, d'après la théorie des sections coniques, que l'équation générale du second degré peut se ramener à la forme a^ = /', dans lesquelles a et p sont des fonctions linéaires des coordonnées : et ce résultat analytique est complètement indépendant de l'interprétation géométrique que l'on peut donner des équations. Il en résulte que, dans le système de coordonnées indiqué plus haut, l'équation générale des courbes de la seconde classe peut se ramener à la même forme ap = X^ qui représente alors une courbe, à laquelle appartiennent les points se et ^, et qui a pour tangentes, en ces points, les parallèles qui joignent a et ^au point X' situé à. }'infini. On retombe ainsi sur le théorème bien connu: Dans une conique^ toute tangente variable détermine sur deux tangentes fixes et parallèles des segments dont le produit est constant.

Considérons enfin le cas où deux des points de référence s'éloignent à rinfini. L'éqnation du point devient alors (fig. 124)

^^ -h sinô'sinBOD -+- sinô"COE =- o,

ou, comme il est facile de le voir,

Sinô . r.f ' • tn '

p Ali Ali

Lorsque le point 0 est donné, celte équation ne renferme comme va-

54o MOTRS.

riables que les segments AD el AE. Si donc on prend, pour coordonnées d'une droite, les //tc<?rf^.r des segments qu'elle détermine sur les axes, une

Fig. 134'

équation linéaire entre ces coordonnées représente un point, et une équation du degré /i, une courbe de la /i''*"' classe.

Il est d'ailleurs évident que Féquation tangentielle obtenue de cette manière est de la même forme que celle que nous avons employée jusqu'ici, et qui a pour coordonnées soit les coefficients /, m de l'équation en coordonnées cartésiennes Ix^my^ i, soit les rapports mutuels des coefficients de l'équation analogue Ix h- my -h « — o.

SUR LA FORME DONNÉE PAR M. CASEY A L'ÉQUATION D'UNE CONIQUE AYANT UN DOUBLE CONTACT AVEC UNE CONIQUE FIXE, ET TANGENTE A TROIS AUTRES CONIQUES.

(Pape 5o5.)

On peut obtenir cette équation en suivant une marche analogue à celle indiquée au n" 132, Ex. IV. Soient

a:' -h ^^ -h z' =r o, /.r -H my -i- nz = o, l'.r -h m'y -+- /l'z = o

les équations de la conique S et des droites L ctM. La condition pour que les deux coniques S — L', S — M"* se touchent, peut s'écrire ( 387 )

(,s')(,-s'') = (.-Rr.

en posant S' = /' + «/' -i- //', S" = /'- ■+- /h" -t- /i", R = //' -f- mm' ■+- nn'. Désignons en outru, pour abréger, par (la) la quantité

KOTES. 541

Si Ton effectue, d'après les règles connues, lo produit des deux expressions

//' yj\

- 1 /'" nr

ni"" n'" yJT

obtient

, le déterminant

qui doit être nul, puisque les facteurs contiennent six lignes horizontales et seulement cinq colonnes. L'équation qu'on obtient ainsi est vérifiée par les invariants des cinq coniques qui ont un double contact avec S. Lorsque la conique (5) est tangeante aux quatre autres, les expressions (i5)^... s'annulent, et les invariants des quatre coniques qui, ayant avec S un double contact, sont tangentes à une cinquième conique, satisfont à la relation

qui devient, après le développemeot,

v/(ia)(34)±v'(i3)(24)±v'('4)(23)=o.

On peut déduire de cette équation , celle d'une conique qui en touche trois autres, en opérant de la manière suivante. Lorsque le discriminant d'une conique s'annule on a S = 1 , et la condition de contact avec une quelconque des autres coniques se réduit à R = i; si donc a, ^ et 7 sont les coordonnées d'un point vérifiant la relation S ~ L' = o, c'est-à-dire

^4^ sons.

x" — r^ -^ Z' — U — mr -^ nz ' = o, TéqiJli.D

jr — î' ^ s* — ? — ' = o

rcpfésenlc une con-que, dont ledUcrimtnant e^t nu!, et qui touche S — L'. Par suite, étant données le» trois roniques S — L% S — M*. S — N', si l'on prf-Cfd un point quelconque z.S.7 sut la conique qui leur est langer. te, et que l'on considère ccmme quatrième conique celle dont nous Tenons d'écrire I équation, les quantités ■ 14 ,, (24 1, (34 ont respe ni veinent pour valeurs

I , I —• I — ^, et les coorionnées d'un peint quelconque

y/6 v^ VS ,

de la conique tanzenteaux trois autres satisfont à la relation

V'23 US~L) = v 3" (vS-M) dz \'ia.(vS-N)-=