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tangentes (258) et par suite à deux conditions. On peut voir, du reste, qu*il suffit alors de trois autres conditions pour déterminer la conique, pui$qu*en prenant le foyer pour origine, et se reportant au tracé des courbes réciproques, tout se réduit à décrire un cercle assujetti à trois conditions; et rien n*empèche de transformer par la méthode réf^iproque, pour revenir à la conique , la solution de ce problème , qu'il est facile d'obtenir parla géométrie élémentaire. Nous laissons au lecteur le soin de déterminer, par ce procédé, les directrices des quatre coniques définies par un foyer et trois points.
Le pôle d^une droite donnée par rapjwrt à la conique équivaut à deux conditions. En effet, soient P le pôle de R'R" (fg. 54^ p. 207) et T un point de la courbe ; en prenant le quatrième harmonique T' on aura un autre point de la courbe; d'ailleurs si OT est une tangente, OT' en sera une autre. Si donc on se donne, outre une droite et son pôle, trois points ou trois tangentes, on peut en trouver immédiatement trois autres et tracer la courbe.
Le centre équivaut à deux conditions, puisque le centre est le pôle de la droite à Tinfini. Connaître un point de la polaire d'un point donné représente une condition. Ainsi , dire que la courbe est une hyperbole éqiàlatèrc revient à exprimer que les deux points à l'infini du cercle se trouvent chacun sur la polaire de l'autre par rapport à la courbe. Un triangle autopolaire équivaut à trois conditions [ lorsque celte donnée se rapporte à une parabole, elle est la même que celle de trois tangentes) :
1* Construire une conique connaissant cinq points. Nous avons montré (269), comment, avec le secours de la règle seulement, on peut déterminer antant de points de la courbe qu'on le désire: on peut également trouver la polaire d'un point quelconque par rapport à la courbe ( 146), ou le pôle d'une droite donnée, et par suite le centre.
2" Cinq tangentes. On peut transformer, par voie réciproque, la construction du n°269; ou ramener ce problème au précédent d'après les indications de l'Exercice IV du n® 268.
3" Quatre points et une tangente. Nous avons déjà (345, Ex. IV) indiqué une solution de ce problème, qui en admet deux et, par suite, exige plus que l'emploi de la règle.
Soient AB, a,a\b^b' la tangente et les quatre points donnés; on a, d'après le théorème de Carnot (313)
Ar.Ac'.Brt.B^'.C^'.Cfc' = A^.Aô'.Bc.Bc'.Crt.Ctf',
et comme les points c et c' coïncident, celte relation suffit pour déterminer le rapport A c : Bc . On peut aussi rameniM' ce problème à l'un
des suivants, en observant que la connaissance de quatre points entraîne (282) celle des polaires de trois points, et qu'en ayant une tangente on peut immédiatement en trouver trois; de telle sorte qu'on obtient ainsi quatre points et quatre tangentes.
4° Quatre tangentes et un point. La solution de ce problème peut se déduire de celle du précédent, par la méthode réciproque, ou par le procédé qui s'y trouve indiqué, puisqu*en se donnant quatre tangentes, il y a trois points dont on connaît les polaires (146).
5° Trois points et deux tangentes. Le théorème suivant est un cas particulier de celui du n® 3i4. Les deux points où une droite rencontre une conique et] ceux où elle coupe deux de ses tangentes appartiennent à un système en involution qui a pour un de ses foyers Tintersection de cette droite avec la corde de contact. Si donc la ligne qui joint deux des points donnés a qI b est coupée par les deux tangentes en  et B, la corde de contact de ces tangentes passe par l'un ou l'autre des points fixes F et F', qui sont les foyers du système («.^.A.B),(286, Ex.). De même la corde de contact passe par l'un ou l'autre des points fixes G, G' situés sur la droite qui joint les points donnés a et c. La corde de contact est donc l'une ou l'autre des droites FG, FG', F'G, F'G', et le problème admet quatre solutions.
6** Deux points et trois tangentes. Le triangle formé par les trois cordes de contact a ses sommets situés chacun sur une des tangentes, et comme, d'après le théorème énoncé plus haut , chacun de ces cotés passe par un point fixe de la droite qui joint les deux points fixes, on peut construire le triangle.
La construction d'une conique de laquelle on connaît deux points ou deux tangentes, n'est qu'un cas particulier de celui où la conique doit avoir un double contact avec une conique donnée. Le tracé d'une conique ayant un double contact avec une conique donnée et tangente à trois droites, ou passant par trois points, a été indiqué aux n~ 328 et 387. Nous avons résolu au n° 286 le problème de trouver une conique ayant un double contact avec deux coniques données et passant par un point, ou Uingente à une droite; et au n" 387 celui de tracer une conique ayant un double contact avec une conique donnée , et touchant en même temps trois autres coniques qui ont aussi un double contact avec la première.
