DES SYSTÈMES DE CONIQUES ASSUJETTIES A QUATRE

œNDITIONS.

Lorsqu'on ne donne que quatre conditions pour déterminer une conique, on peut trouver tout un système de coniques satisfaisant à ces conditions. Les propriétés des systèmes de courbes assujetties à un nombre de conditions inférieur d'une unité à celui qui est nécessaire pour les définir, ont été étudiées par MM. de Jonquières, Gbasles^ Zeutben et Cayley (*); nous exposerons succinctement dans cette Note quelquesuns des résultats qu'on peut obtenir par la méthode des caractéristiques, méthode qui est due à M. Chasles.

Lorsque dans un système de coniques satisfaisant à quatre conditions il y en a fA qui passent par un point donné, et v qui touchent une droite donnée, on dit que /x et y sont les caractéristiques du système. Ainsi les caractéristiques d'un système de coniques passant par quatre points sont I et 2, parce qu'en ajoutant aux conditions primitives un cinquième point on ne peut construire qu'une seule conique, tandis qu'en y ajoutant une tangente on peut en construire deux. De même, les caractéristiques des systèmes définis par trois points et une tangente, deux points et deux tangentes, un point et trois tangentes, quatre tangentes, sont respectivement (a, 4)(4>4), (4,îi), (a, i).*

On peut déterminer à priori Tordre et la classe de beaucoup de lieux liés au système, en se basant uniquement sur les définitions que nous avons données de l'ordre et de la classe : une courbe est du n^^*^ ordre lorsqu'elle rencontre une droite quelconque en n points, réels ou imaginaires ; une courbe est de la n^"** classe lorsque par un point arbitraire on peut lui mener n tangentes, réelles ou imaginaires. Ainsi le lieu du pôle d'une droite donnée par rapport à un système dont les caractéristiques sont /A et V est une courbe de l'ordre v. En effet, si l'on examine en combien de points ce lieu peut couper la droite donnée, on voit qu'il ne peut la rencontrer que lorsque le pôle de la droite se trouve sur la droite, c'est-à-dire quand cette droite est tangente à une conique du système : et comme, par hypothèse, ce contact ne peut se produire que dans v cas, le lieu est du degré v. Ce résultat est en parfaite concordance avec ceux que nous avons obtenus dans quelques cas particuliers, comme le degré du lieu des centres des coniques passant par quatre points ou tangentes à quatre droites, etc.

(*) On trouTera l'indication des sources originales dans le Mémolfe de M. Cayley {Philotophical Transactions^ 1867, p. 76).

Déterminons maintenant l'ordre du lieu du foyer des coniques de ce système. En généralisant la question^ au moyen de la conception des foyers exposée au n** 374, on voit que ce problème n'est qu'un cas particulier du suivant : Étant donnés deux points  et B, trouver le degré du lieu de Tintersection des tangentes menées respectivement aux coniques du système par  et B. Si l'on examine en combien de points ce lieu peut rencontrer la droite ÂB, on voit immédiatement que lorsqu'un de ses points est sur ÂB, AB est tangente à la conique. Soit T le peint de contact; la tangente AT rencontre en T la tangente BT, et en B la deuxième tangente menée par B; de même la tangente BT rencontre en A la deuxième tangente menée par le point A. Par suite, à toutes les coniques qui touchent AB, correspondent sur AB trois points du lieu, qui est ainsi de Tordre 3v et dans lequel A et B sont des points multiples de Tordre v. Le lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites est donc une cubique, qui passe par les deux points du cercle situés à Tinfini.

Lorsque parmi les conditions du système se trouve celle que la droite AB soit tangente aux coniques, toute transversale menée par A rencontre le lieu en v points distincts de A, et A lui-même est un point multiple de Tordre v; le lieu se réduit alors à Tordre 2v. C'est celui du lieu des foyers des paraboles assujetties à trois conditions.

Le principe suivant est très-important au point de vue de ces recherches. Lorsque deux points A et A^ appartenant à une droite, se correspondent de telle sorte qu'à une position quelconque de A correspondent m positions de A', et qu'à une position quelconque de A' correspondent n positions de A, il y a /w -+- /2 cas dans lesquels A et A' coïncident. Ce théorème se démontre, comme ceux des n°* 336 et 340. Si Ton prend la droite sur laquelle se trouvent A et A' pour axe des x, les abscisses x et x' de ces points sont assujettis à une certaine relation qui est par hypothèse du jjfme degpé en JT, et du n^"** en j?', et qui devient, par suite, du degré m -hn lorsqu'on y fait x = x'.

Comme application de ce principe, cherchons Tordre du lieu des points dont la polaire, par rapport à une conique fixe, est la même que par rapport à une conique du système, et voyons combien de ses points peuvent se trouver en ligne droite. Si Ton considère sur cette droite deux points A et A' tels, que la polaire de A par rapport à la conique fixe coïncide avec la polaire de A', par rapport à une des coniques du système, le problème revient à trouver dans combien de cas A et A' coïncident. Lorsque A est fixe, sa polaire par rapport à la conique fixe est fixe ; le lieu du pôle de cette dernière ligne par rapport aux coniques du système est, d'après le premier théorème, de Tordre v, et détermine, par suite, sur la droite donnée V positions du point A'. Examinons maintenant combien de positions

de A correspondent à une position déterminée de À'. D'après le théorème réciproque du premier, les polaires de A' par rapport aux coniques du système enveloppent une courbe de la classe fji, à laquelle, par suite, on peut mener jx tangentes par le pôle de la droite donnée A A', pris par rapport à la conique fixe. Par conséquent fA positions de A correspondent à une position de A' : il y a donc p + v cas pour lesquels A el A' coïncident, et le lieu cherché est de l'ordre fx h- v.

Ce qui précède nous permet de déterminer immédiatement dans un système le nombre de coniques qui touchent une conique fixe, puisque chaque point de contact a même polaire par rapport à la conique fixe el à une conique du système. Ce point de contact se trouve donc à Tintersection de la conique fixe avec le lieu trouvé précédemment, qui la rencontre évidemment en 2(|x + v) points. On obtient ainsi le nombre de coniques qui, touchant une conique fixe, sont assujetties à quatre conditions : quatre points, trois points el une tangente, deux points et deux tangentes, etc. Ces nombres, qui sont respectivement G, 12, 16, 12, 6, nous permettent de calculer les caractéristiques des systèmes de coniques qui touchent une conique et satisfont à trois autres conditions : trois points^ deux points et une tangente, etc. : elles ont pour valeurs respectives (6, 12), (12, 16), (16, 12), (12, 6).

De même, les coniques de ces différents systèmes qui touchent une deuxième conique fixe sont au nombre de 36, 56, 56, 36, ce qui donne (36,56), (56,56), (56,36), pour les caractéristiques respectives des systèmes dont les courbes touchent deux coniques fixes et satisfont à deux conditions : deux points, un point et une tangente, deux tangentes.

Les coniques de ces différents systèmes qui touchent une troisième conique fixe sont au nombre de 184,224, 184 : on a ainsi (184, 224), ( 224, 1 84 ) pour les caractéristiques des systèmes définis par trois coniques et un point, trois coniques et une tangente.

Le nonbre des coniques de ces systèmes qui touchent une quatrième conique est pour chacun d'eux de 816; et, par suite, on peut mener 3264 coniques qui touchent à la fois cinq coniques données.

Nous renverrons pour de plus amples détails aux Mémoires déjà cités, ot nous nous contenterons d'ajouter ici que 2v — pi coniques du système se réduisent à un couple de droites et 2// — v à un couple de points.