IV. Quels sont les points représentés par les équations

jc*— 5xH- jH- 3 = 0, x'-h^'— 5x— 37-»-6 = o? RÉPONSE. (1,1), (a, 3), (3,3), (4,1).

15. Une seule équation entre les coordonnées représente un lieu géométrique.

Il est évident qu'une seule équation est insuffisante pour déterminer les deux inconnues x et y, et qu'elle peut être satisfaite par un nombre indéfini de systèmes de valeurs de x et de Xf sans que, cependant, elle le soit par un système de valeurs pris au hasard. L'ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l'équation forme un lieu qui est considéré comme la représentation géométrique de l'équation donnée.

Ainsi, par exemple» nous avons vu(n® 5, Ex. III) que l'équation

représente la distance du point [x,y) au point (2, 3), qui est égale à 4* Cette équation est donc satisfaite par les coor-

l8 CHAPITRE II.

données d'un point quelconque du cercle qui a pour centre le point ( 2, 3) et 4 pour rayon, et elle n'est satisfaite que par les coordonnées de ces points. On dit alors que le cercle est le lieu représenté par celte équation.

L'exemple suivant, plus sinnple encore, nous permettra de faire voir aussi qu'une seule équation entre les coordonnées représente un lieu géométrique. Reprenons la construction au moyen de laquelle (n° 1) nous avons déterminé la position du point représenté par les deux équations ^ = a, y^=^b. Nous avons obtenu le point P (/g. i3) en prenant MP:=^ sur la parallèle MK menée à OY par le point M distant du

Fig. i3.

point 0 deOM=:a. Si nous nous étions donné une valeur différente V pour 7-, en procédant de la même manière, nous aurions encore trouvé un point situé sur la ligne MK, mais à une distance différente de M. Enfm, si la valeur de y est laissée tout à fait indéterminée, et si nous ne nous donnons que l'équation ^ = a, le point P sera silué quelque part sur la ligne MK, et sa position sur cette droite sera indéterminée. La ligne MK est donc le lieu de tous les points représentés par l'équation a; = a, puisque, quel que soit le point que l'on prenne sur cette ligne MK, l'abscisse x de ce point sera toujours égale à a.

16. En général, lorsqu'on a une équation de degré quelconque entre les coordonnées, on peut prendre pour x une valeur arbitraire, jt = a, et déduire de cette équation un nombre fini de valeurs de y correspondantes à cette valeur particulière de X : par. conséquent cette équation sera satisfaite par chacun des points p, ç, r,...{^gr. i4), qui ont pour abscisse cette valeur particulière, et pour ordonnées les valeurs corres-

1>B LA UGNl DBOITB. I9

Vondames déduites de Téquation. En parlant d'une autre valeur de X, jc ^^ a* y nous trouverons de même une autre série

Fiç. 14.

de points satisfaisant à l'équation. Et il en sera encore ainsi pour d'autres valeurs de a:, a; = «", x = o^, . . . . Si donc nous donnons successivement à a; toutes les valeurs possibles, l'ensemble de tous les points trouvés comme il vient d'être dit formera un lieu dont chaque point satisfera à l'équation, et qui en sera par conséquent la représentation géomélrique.

On peut, en suivant le procédé qui vient d'être indiqué, déterminer autant de points qu'il est nécessaire, pour figurer là forme du lieu.

EXERaCES.

I. Représeriler graphiquemeni (*) une série de points satisfaisant à i'àiuation jr = ix -h^,

RÉPONSE. Donnant à x les valeurs — 2 , — 1 , o , i , a ,..*.,» oi> trouve, pour y, — i, i, 3, 5, 7, . . . , e^ l'on voit alors que les points correspondants sont en ligne droite.

n. Représenter le lieu correspondant à l'équation ; = jr' — 3 r — 2.

j I ' 3 5 - 7 , RÉPONSE. Aux valeurs de x : — i, , o, -, 1, -, a, -, 3, -, 4,

correspondent les valeurs de j : 2, — -? — 2, — -r-, — 4, — j-> — 4,

(") yovA recommandons au lecteur de se servir pour cet objet de papier quadrillé.

— T-, — î*, — 7J 2. Ces points sont suffisants pour indiquer la forme 4 4

de la courbe ; on peut du reste les multiplier en donnant à x des valeurs positives ou négatives plus grandes.

m. Représenter la courbe r = 3 ± /siô^— x — x^,

RÉPONSB. A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y : aucune partie de la courbe ne se trouve à droite de la ligne .r = 4, ni à gauche de la ligne a: = — 5, puisqu*en donnant à xdes valeurs positives ou négatîves plus grandes, la valeur de/ devient imaginaire.

17. Toute la Géométrie analytique est fondée sur la corrélation qui, ainsi que nous venons de le montrer, oxiste entre une équation et un lieu géométrique. De là un double but à remplir. Si une courbe est définie par une propriété géométrique, nous aurons à déduire de cette propriété l'équation qui devra être satisfaite par les coordonnées des points de la courbe. Ainsi, par exemple, si Ton définit le cercle : le lieu des points [x^y) dont la distance à un point fixe (a, 6) est constante et égale à r, on aura pour \ équation du cercle en coordonnées rectangulaires (n* il) *

[x — ay-{-{y— by = r\

Si, d*un autre côté» on nous donne une équation, nous aurons à déterminer la forme de la courbe qu'elle représente, ainsi que les propriétés géométriques de cette courbe. Pour faire cette recherche avec méthode, après avoir classé les équations suivant leur degré, nous déterminerons la forme et les propriétés du lieu représenté par une équation, en commençant par les équations du degré le moins élevé.

Le degré d'une équation se déOnit par la plus grande valeur de la somme des exposants de x et de y prise dans chacun de ses termes. Ainsi l'équation xy-+-2x-\-3yz=^ est du second degré, puisqu'elle renferme le terme xy. Si ce terme n'existait pas, elle serait du premier degré. On dit qu'une courbe est du degré n lorsque l'équation qui la représente est elle-même du degré n.

Nous étudierons d'abord l'équation du premier degré : nous

DB LA UallB DkOlTI. Il

leroDs voir qu'elle reprësenie toujours une ligne droite, et que, réciproquement, l'équation d'une Ugfie droite est toujours du premier degré.

18. Nous avons déjà examiné (n" 15) un cas très-simple de l'équation du premier degré, celui de l'équation x = a. Reprenant les mêmes considérations, nous ferions voli' que l'équation y-=^b représente une parallèle PN à Taxe OX (^g'.iS), coupant l'axe OY à une dislance de l'origine ON = 6. Si 6 devient nul, l'équaiion se réduit ky^o et représente l'axe OX; de même l'équation ar — o représente l'axe OY.

Passons à un cas un peu moins simple, el cherchons quelle est la relation qui existe entre les coordonnées d'un point situé sur une droite passant par l'origine.

Les deux coordonnées PH et PN du point P (Jig- iS) sont de longueurs variables, mnis leur rapport est constant, puisqu'il est égal à

sinPO!i:sin!aPÔ; l'équation

sin^OM"

sinMPÔ

sera donc satisfaite par tous les points de la droite : ce sera l'équation de la ligne OP.

Réciproquement, si nous cherchons quelle est la ligne représentée par l'équation

nous voyons, en mettant l'équation sous la forme -

cela revient à « trouver le lieu d'un point P tel, que le rapport PM:PN des deux droites menées par ce point parallèlement à deux droites fixes soit constant. » Ce lieu est évidemment une droite OP passant par rinterseclion 0 des droiios fixes, et divisant l'angle qu'elles forment de telle sorte que

sinPOM^imsinPON.

Si les axes sont rectangulaires, on a sinPON =cosPOM, et

alors m=tangPOM. L'équation représente dans ce cas une droite passant par l'origine et faisant avec l'axe desx un angle dont la tangente est m.

19. Une équation de la formej^ = -i- mx représente une droite OP située dans les angles YOX, Y'OX' ; car il résulte de cette équation qu'à une valeur positive de x correspondra une valeur positive de ^, et à une valeur négative de x une valeur négative de j. Les points représentés par cette équation auront donc leurs deux coordonnées à la fois positives ou à la fois négatives : par suite, ces points ne pourront se trouver (n® 4) que dans les angles YOX, Y'OX'.

Au contraire, pour que l'équation y= — mx soit satisfaite, il faut que j soit négatif si x est positif, ou positif si x est négatif. Les points satisfaisant à cette équation auront donc leurs coordonnées de signes différents : par suite, la droite que représente l'équation se trouvera { n° 3) dans les angles Y'OX, YOX'.

20. Cherchons maintenant l'équation de la droite PQ {Jîg, i6) située d'une manière quelconque par rapport aux axes.

Menons par l'origine une parallèle ORà QP, et soit R le point de rencontre de OR et de l'ordonnée PM. Il est évident ( n° 18) que le rapport RM :0M est constant (on aura, par exemple, RM = m.OM); mais l'ordonnée PM diffère de RM de la quantité constante PR = OQ = b; nous pourrons donc écrire

PM:r=RM-4-PR ou PM = m.0M4-PR,

DE tk LIGNE DROITE. 23

r'esl-a-dire

Cette équation, étant satisfaite par tous les points de la droite QP, sera par suite l'équation de cette droite.

Il résulte du numéro précédent que m sera positif ou négatif suivant que la parallèle OR à QP se trouvera dans l'angle YOXou Y'OX. D'autre part, b sera positif ou négatif suivant que le point Q, où la droite rencontre l'axe des /, sera au-dessus ou au-dessous de l'origine.

Réciproquement, l'équation y=^mx -^b représente toujours une ligne droite. En mettant, ce qui est possible, cette équation sotis la forme

et menant QT parallèlement à OM, on aura

TM=:ft,

et, par suite,

La proposition ci-dessus revient donc à « trouver le lieu d*un point tel, qu'en menant par le point une parallèle PT à OY jusqu'à la rencontre de la droite fixe QT, on détermine un segment PT qui soit à QT dans un rapport constant, m Et ce lieu est évidemment une droite PQ passant par le point Q. L'équation la plus générale du premier degré,

kx -hBj-h C = o, peut évidemment se ramener à la forme j — m^c + 6, puis-

24 CHAPITBB II.

qu'elle est équivalente à

Elle représente donc toujours une ligne droite.

21. Ce que nous venons de dire plus haut permet de préciser la signification géométrique dès constantes qui se trouvent dans réquation de la ligne droite. Si la droite représentée par réquation j= mx -4- b fait un angle a avec Taxe des x et un angle (3 avec Taxe des j, on a (n" 18)

sina ni= -7-^»

sinp

et» si les axes sont rectangulaires,

m =r tanga.

D'ailleurs (n^'SO) b est le segment déterminé par la droite sur Taxe des y.

L'équation étant donnée sous la forme A a: -+- B^--i- C = o, peut se ramener comme précédemment à la forme r=wx-4- b; on trouve alors

sina smp

ou, si

les axes

sont rectangulaires.

tanga;

et le rapport -

représente le

segme

mine sur Taxe

des j.

Corollaire. — Les droites x= ^^ ■+" ^> J = ^' ^ "^ ^' sont parallèles si m^=m\ puisqu'elles font toutes deux les mêmes angles avec les axes. De même les droites A^ -h B/-hC 1=0, K'x 4- B'j -4- C = o sont parallèles lorsque

Avant d'aller plus loin, nous allons faire connaître deux

BE LÀ LIGNE I^ROITE. 35

formes difTérentes sous lesquelles on met fréquemmenl l'équation de la ligne droite.

fâ. Trouver V équation d'une droite MN [fig^ 17 ) en fonction des segments OM = a, ON = b qu'elle détermine sur les axes.

Nous pouvons déduire cette équation de Téquation déjà connue

A^-hBj-f-C — o ou yî J^ H-p .r -+- 1 = o. Cette dernière équation, devant être satisfaite par tous les

points de la droite, le sera par le point 1A{x=za, j = o) ,n'^2); nous aurons donc 1

L Vj a

Elle le sera de même par le point N( j: — o, ;^=: 6), donc

C"" b' Portant ces valeurs dans Téquation générale, elle devient

Cette équation est indépendante de Tangle que font entre eux

les axes de coordonnées.

La position de la droite varie évidemment avec les signes

X y des quantités a et b. Ainsi, à l'équation — h -r- = i, qui donne

des quantités positives pour les segments faits sur les axes,

correspond la droite MN, tandis que l'équation T" '»

qui donne un segment positif sur Taxe des x et un segment négatif sur Taxe des^-, représonie la droite MN'.

On verrait de même que Téquation h ^ = i repré-

sentela droite NM', et Téqualion v — > la droite M'N'.

Une équation du premier degré peut toujours se ramener à

une des quatre formes précédentes, en divisant tous ses termes

par le terme constant.

EXERCICES

I. Examiner la position des droites suivantes, et trouver les segments qu'elles déterminent sur les axes

2.r — 3 r ~ 7, Sx h- 4j^' -h 9 = o^ 3^' -h 2 V — 6, 4 >" — 5.r — îio.

II. On prend deux des côtés d'un triangle pour axes ; trouver l'équation de la droite qui joint les extrémités des segments obtenus en prenant sur chacun des côtés sa w^'"" partie, et démontrer (n^âl) que cette droite est parallèle à la base.

RéPONSB. . , —

23. Exprimer V équation d'une droite MN [Jig- 18) en fonction de la longueur de la perpendiculaire abaissée de V origine sur cette droite, et des angles que celte perpendiculaire fait avec les axes,

Fig. i8.

Soient OP=/?lalongueur de cette perpendiculaire ;POM= a l'angle qu'elle fait avec l'axe des x; PON = p celui qu'elle fait avec l'axe des y; OM = a^ ON = b.

DE LA LIGNE DROITE. ?.'

L'équation de la droite MN est (n<* 22)

Multipliant cette équation par p, il vient

-^'^tX = P'

ilc *1 ^-^ nr\c M »

Mais - = cosa, Ç =^ cosô, donc l'équation de la droite sera a o *

.r cosa -+- j cos(3 =/?.

Si les coordonnées sont rectangulaires» ce qui est le cas le plus fréquent, ^ = 90**— a, et l'équation de la droite devient

;rcosa 4-/sina = />.

Si l'on suppose que a puisse prendre une valeur quelconque comprise entre o et 36o degrés, cette équation présentera quatre cas particuliers correspondants à ceux de l'équation du n^22. Si la droite a la position NM' {Jig. 17), a sera compris entre 90 et 180 degrés, et le coefficient de x sera négatif; si elle a la position M'N', a sera compris entre i8o et ^70 degrés, les coefficients de x elde y seront tous deux négatifs; enfin, si elle a ta position MN', a étant. compris entre 270 et 180 degrés, le coefficient de x ^^^ négatif. Néanmoins, dans ces deux derniers cas, il sera plus commode d'écrire l'équation sous la forme arcosa-4- jsina = — /?, et de regarder a comme l'angle, compris entre o et 180 degrés, que le prolongement de la perpendiculaire fait avec la direction positive de l'axe des X. Par suite, dans l'emploi de la formule

:rcosa -+-^sina =/?,

nous supposerons p susceptible de recevoir le double signe, et nous prendrons pour a l'angle, toujours inférieur à 180 degrés, que la direction positive de l'axe des x fait avec la perpendiculaire ou avec son prolongement.

On peut facilement ramènera la forme ^cosa-f- jsina = p, l'équation générale Aa;-+-B/-+-C=o; car, en divisant tous

a8 CHAPITRE II.

ses termes par v/A' h- B', on a