AA' + BF
COSl X — X]= . n
VA'H-B'.v/A"+B"
3o chàpitrb a.
' et, par suite,
,, BA'-AB'
Corollaire I. — Les deux droites sont parallèles (n" 21)
lorsque
BA' - AB' = o,
puisque l'angle qu'elles forment devient nul.
Corollaire If. — Les deux droites sont perpendiculaires
lorsque
AA'-hBB':=io,
puisque la tangente de l'angle qu'elles comprennent devient infinie.
Si les équations des droites sont données sous la forme
y=z mx -\- b, y"'=^ m'a: -+- b\
les tangentes des angles qu'elles font avec l'axe des x sont m et m (n° 21 ), et comme l'angle qu'elles comprennent est égal à la différence de ces angles, on aura pour sa tangente
m — m' 1 H- mm'
Les droites sont parallèles si m^=m\ et perpendiculaires si I -h mm' =^ o.
*20. Trouver Vangle compris entre deux droites, les coordonnées étant obliques.
Partant des expressions du n° 24, et procédant comme ci-dessus, nous trouverons, en désignant par oi l'angle que
forment les axes,
A sin&) cos a = - z z^ ^n^ 9
VA^H-B' — aABcosw A'sin&)
cosa' —
et
sma =^
sina' =
s/Â'^-4-B'^-2A'B'coso)
B — A cosw v/» ^- B» — "2AB c~oVa) ' B' — A' cos M
v'A"-t-B''-2A'B'cosa)
DS LÀ UGIIB DROITE. 3l
Donc
(BA'— AB')sin«
sin(a — 3c ) = —, = =^ — — r ^ '■ ~- »
VA' -h B'— 2ABCOSÛ). v^A'^» -+- B'^ — aA'B'cosû)
BB'-4- AA'— (AB'-h A' B) cosw
sin(a — a') = -t-
V^A' -h B' — 2 AB cosw . v'A'^' -h B"— aA'B' cos
. (BV^ABMsiim
ïang a a ) — gg, ^ ^^, ^ ^U ^ A'B ) cosw '
Corollaire I, — Les droites sont parallèles lorsque
BA'= AB'
Corollaire IL — Les droites sont perpendiculaires lorsque
AA' -h BB' = ( AB' + B A' ) cos w.
27. On peut toujours trouver une droite satisfaisant à deux conditions.
Toutes les formes sous lesquelles nous avons donné l'équation générale de la ligne droite renferment deux constantes. Ainsi les formes j^* = m^ -h 6, :r cosa 4-j^sina=:/? renferment les constantes m et 6, a et p. La seule forme
kx -\- By -h C = o
semble en renfermer un plus grand nombre ; mais dans ce cas on n'a pas à considérer les grandeurs absolues des coefficients, mais bien leurs rapports, car, en multipliant ou en divisant tous les termes d'une équation par une même quantité, on ne change pas la nature du lieu qu'elle représente* On peut donc ramener l'équation kx -t- B/ 4- C = o
à n'avoir que deux constantes j;? jr en divisant tous ses
termes par C. Par suite, en adoptant une quelconque de ces formes, par exemple jr= mx -hb, pour celle de l'équation générale de la droite, on peut considérer m et b comme des inconnues qu'il s'agit de déterminer. Lorsque nous aurons deux conditions, nous pourrons trouver les valeurs de m et de b relatives à la droite qui satisfait à ces deux conditions.
3a - CHAPITRE II.
Ce sujet sera du reste développé d'une façon plus explicite dans les n*« 28, 29, 32 et 33.
28. Trouver Vêqiiation d'une droite menée par un point (x', y') parallèlement à une droite donnée.
La droite cherchée devant être parallèle à une droite donnée, la constante m de son équation y == mx -h b est déterminée (n®21. Cor.); puisque en outre cette droite passe par le point (x' y jr')y son équation, qui doit être satisfaite par les coordonnées d'un quelconque de ses points, le sera par x'y y'; on aura donc pour déterminer b,y=mx''\-by el Téquation cherchée sera
jr = mx-hX^ — ^^' ou X — y'' = ni{x — x^).
Si dans cette dernière équation nous considérons m comme indéterminée, nous aurons l'équation générale des droites passant par un point donné.
