VI. Écrire Téquation de la droite joignant
RÉPONSE
— ^[/{w — /i)x'-H/w(/i — /)a:'-f-/f(/— /ii)x*']
30. Trouver in condition pour que trois points (j;,, ^, ), {^^9 y-t), (j^a, /s) soient en ligne droite.
Il suffît, pour résoudre celle qucsiion, de voir si les coordonnées du iroisième point satisfont à l'équation (n^'SO) de la droite joignant les deux premiers. On obtient ainsi la relation
qui peut se meure sous la forme plus symétrique
y,[xt — x,)-h7,(j:, — ^,) -\-Xi(Xy — j:,)i=o (*).
31. Trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites données parleurs équations.
Chacune de ces équations exprimant une condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées du point cherché, on trouvera ces coordonnées en résolvant les deux équations par rapport 9i xtX y.
Nous avons dit (n** H) qu'un point était déterminé lorsqu^on avait deux équations entre ses coordonnées; nous voyons maintenant que chaque équation représente un lieu sur lequel le point doit se trouvei', et par suite que ce point est l'intersection des deux lieux représentés par ces équations. Ainsi, les équations les plus simples pour la détermination d'un point sont xr=a, x= b; elles représentent deux parallèles aux axes de coordonnées, et le point se trouve à leur intersection. Lorsque les équations sont toutes deux du premier de-
{*\ En employant cette formule, et d'autres semblables que nous ronconticrons plus loin, on doit bien faire attention de prendre les coordonnées dans un ordre fixe {voir la figure ci-après). Si, par exemple, pour avoir le deuxième
terme de la formule cl-detsus, nous remplaçons dans le premier^-, par^r,, j:, par X, et 4r, par x, ; pour obtenir le troisième nous devrons marcher dans le même ordre, et remplacer ^, par j)\ , x, par x^ , et x, par x,.
DB LA LIGNE DEOITB. 35
gré, elles ne représentent qu*un seul poînl, puisque chaque équation est celle d'une droite, et que deux droites ne peuvent se couper qu'en un seul point. Dans le cas, plus général, où les équations sont d'un degré supérieur, les lieux correspondants se coupent en plusieurs points.
EXERCICES
I. Trouver les sommets du triangle dont les côtés ont pour équations j:H-^=a, x — 3j=4, 3jrH-5j-h7 — G.
U. Trouver les coordonnées des intersections des droites
3jr -♦- r — !i = o, j: -h 2^- = 5, ^x — 3r -h y = o,
RÉPONSE. (1, 11), {-±, î^), (-1, iiy
ni. Trouver les coordonnées des intersections des droites
2JC -H 3/ = i3, 5x — jr =7, a: — 4^ -h lo -- o.
RÉFO?(SB. — Ces droites se coupent au point (2, 3).
ÏV. Trouver les coordonnées des sommets et les équations des diagonales du quadrilatère dont les côtés sont
2x— 3r=io, a^r-f--r = 6, i6jr — ioj=33, i2j:-+- i4j-f-29 = 0,
RéPO?!SB.
6/ — x = 6, 8jp -f- 2/ -h i = G.
y. Trouver les intersections des côtés opposés du même quadrilatère et réquation de la droite joignant ces points d'intersection.
Ripc^E. m, î^j> (—y» ^)» 162/- 1990?.-= 446a
VL Trouver les diagonales du parallélogramme formé par
X ~ Oy X — a\ y = hy r — //.
RÉPONSE
( /, ^,') x - (^ «. «') v= a'b - ith\ (ù - b')x H- (rt - a') Y = ab - u'V.
VII. On prend pour axes la base d'un triangle et la médiane correspondante; trouver les équations des autres médianes et les coordonnées de leur point d'intersection, les coordonnées du sommet opposé à la base élnnl o, jr\ celles des autres sommets, x', o et — x\ o.
RÉPONSE
3j:'j — j-'x — x>' = o, 3x'; -h^v'x — x'j'-- o; io, —j-
VIH. On prend pour axes les côtés opposés d'un quadrilatère, et les autres côtés ont pour équations
2^1 10 'la 10
trouver les points milieux des diagonales. RÉPONSE. [tff b'), [a' y b).
IX. Mêmes données; trouver les coordonnées du poini milieu di» l.i droite joignant les points d'intersection des côtés op|)osés.
« , n'b.n — nb* ,rt' n'b,b' — rrb'.b
Réponse. rv y,— ^ n , •
a b — ab a b — ab
La forme de ces expressions indique (n* 7) que ce point divise extérieurement la droite joignant les deux premiers en deux segments (pii sont dans le rapport a'b : ab\
32. Trouver y en coordonnées rectangulaires^ l'équation île la perpendiculaire abaissée d'un point donné (x\ y') sur la droite y =^ nix 4- 6.
Puisque /n/n'= — i (n" 25) est la condition pour que deux droites soient perpendiculaires, on a pour Téquaiion cherchée
DB LA LIGNB BBOITB. 87
On trouverait de même pour la perpendiculaire abaissée du point [jc'j y') sur la droite A x -h Bj 4- C = o, Téquation
qui peut se déduire de celle de la droite en y permutant tes coefficients de x et de y\ et changeant le signe de Vun d'eux.
EXERCICES
I. Trouver les équations des hauteurs du triangle (2, 1), (3, — a),
RÉPONSE. Les équations des côtés sont (29, Ex. I)
j: H- 7^-+- Il = o, 3^— .r=i, 3j? -1-^—7, et celles des hauteurs
Le triangle est rectangle.
II. Trouver les équations des perpendiculaire^ élevées sur les mirieiix des côtés du même triangle.
RÉPONSE. Les points-milieux étant
les perpendiculaires ont pour équations
yx — jr -h a = o, 3 x -^y -h 3 = o, 3 >• — x -4- 4 — o,
rt elles se coupent au point ( — 7 > ~ r )'
m. Trouver les éciuations des hauteurs du triangle (■>, 3), (4, —5), (—3, —6) (29, Ex. II).
RÉPONSE. 7-r-h^=i7, 5.r-i- 9J-+- a5 = o, j:~-4/=ai; droites se coupent au point ( ~ » ] •
IV: Trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du même triangle.
RÉPONSE, '^x H- j H- a = G, 5 j: -h 9 V -h i6 = o, .r — 4 ) = 21; ces droites se coupent au point ( » y
V. Trouver les équations des hauteurs d'un triangle ayant (j^', ) ';, l-*"') j')» (•'^*'» J**) PO"** sommets.
RÉPONSE
(.r''-x'")xH-(r''-/'")r-4-(x'x'"-hr'/'"} - (x'x'-f- r'.v" ) ^ o.
VI. Trouver les équations des perpendiculaires élevées sur lo milieu des côtés de ce triangle.
RÉPONSE
VIL On prend pour axes la based*un triangle et la hauteur correspondante; trouver Téquation des deux autres hauteurs et les coordonnées de leur point d'intersection. Les coordonnées des extrémités de la base sont (x*, o), (— x", o), et celle du sommet opposé (o, v').
RÉPONSE
vin. Mêmes données ; trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des côlés et les coordonnées de leur interj-ertion.
RÉPONSE
IX. Trouver l'équation de la perpendiculaire abaisséedu p int {■*'', y' ) sur
BB LA UGNB DROITS. 3g
h droite Jtroosx -f- jsinsc = p, et les coordonDées do pied de cette perpendiculaire.
RÉpœcsE. X — y = langa(a: — j:'),
x'-HC03flt(/? — x'cosa — jr'sina), j'h- sina(/7 — .r'cosa — r'sina).
X. Trouver la longueur de cette perpendiculairo. RÉPONSE. =t (p — 4:' cos a — ^' sin a ) .
33. Trouver en coordonnées rectangulaires r équation d'une droite passant par un point donné {x',r')f ^t faisant un angle ^ ai^ec la droite y = mx -h h.
Soit
l'équalion cherchée, nous aurons (n® 25)
tang^ =
