h mm

d'où

, m — tanf^Q m =

I + mtangcp

34. Trouver la distance d'un point [x\jr') à une droite xcosa -f-^cosp=/?.

Nous avons déjà indiqué (n** 32, Ex. IX elX) un procédé pour résoudre celte question, mais on peut, à l'aide de la géométrie, arriver au même résultat. Soient MN (Jig. 19} la

Fig. 19.

droite donnée, OR la perpendiculaire abaissée de Toriginc sur celle droite, QK l'ordonnée du point donné Q.

4o CHAPITRE II.

' Menons QR et KT parallèles, et QS perpendiculaire à la droite donnée. Alors

mais

donc

par suite

OK = j:', OT=:j;'cosa; SQK = (Î et QK=/',

RT = QS=:j'cos(3, x' cos a H- j' cos |3 = OU.

Retranchant de chaque membre la dislance OP de Torigine à la droite, on aura, pour la dislance cherchée,

jr'cosa -h j'cos|3 — /> — PR = QV.

Si Ton avait pris dans la figure le point Q du même côté de ia droite que Torigine, OR aurait été plus petit que OP, et on aurait trouvé /> — or'cosa — j'cos|3 pour la valeur de la distance cherchée; celle distance change donc de signe suivant que le point se trouve situé d*un côié ou de Tauire de la droite. Lorsqu'il ne s*agit que d'une seule distance, on peut ne considérer que sa valeur absolue, abstraction faite du signe; mais quand on a à comparer les dislances de deux points, tels que Q et S, il faut nécessairement (n**6) tenir compte des signes de ces dislances QVel SV, puisqu'elles se trouvent mesurées suivant des directions opposées. Le sens positif étant en soi arbitraire, on peut prendre, pour représenter la distance d'un pointa une droite, l'expression (p — x'cosa — j'cos(3), soit avec le signe -h, soit avec le signe — . En la prenant avec le signe +, autrement dit en supposant le terme constant positif, on considère comme positives les distances des points situés du même côté de la droite que l'origine, et comme négatives les distances des points qui se trouvent de l'autre côté. Si l'on prenait l'expression avec le signe —, ce serait l'inverse qui arriverait.

Si l'équation de la droite est

kx -f- B/-^- C = o,

DB Là UGNB DBOITB. 4>

eD la ramenanl à la forme

JTCOSa -hj^'cosp — p = o, on trouve pour la distance du point (x'^ y') à celte droite

Ax'-hBr'-hC (Ax'4-Br'-4-C)sin(k,

V^A'-+- B» \lk} H- B' — aAB cosw

suivant i|ue les axes sont rectangulaires, ou obliques sous l'angle o). En comparant les dislances respectives du point ■a/, jr') el de l'origine à la droite, on voit que le point (x', y') se trouve du même côté de la droite que l*origine lorsque kxf -4- Bj^' H- C a le même signe que C, el inversement,

La condition nécessaire pour qu'un point {x\ y') se trouve sur une droite Ax -^Wjr -k'C = a s'oblienl évidemment en eiprimant que ses coordonnées x* et y' satisfont à celle équation, ce qui donne

Ax'-+-B/'-+-C = o.

Celte condition n'est donc, d'après ce qui précède, que la traduction algébrique de ce fait : que la distance du point à la droite est nulle.

EXERCICES

I. TrQu\er la distance de Forigine à la drcile 3.r h- 4/ -*- '^o — o, \vs axes étant rectangulaires.

RéPONSB. 4«

n. Trouver la distance du point ("Jt, 3) à la droite i.r -hy— i = o.

RÉP0?s8B. -rr ; le point est situé du c6té opposé à celui de lorigino.

m. Trouver les hauteurs du triangle (2, i), (3, — 2), (— 4, — i). RÉPONSE, av/î, y/ïo, a/ïo* LVigineestà l'inlérieur ilu triangle.

IV. Trouver la distance de (3, — 4) à 4x h- aj — 7 = o , l'angle des

axes étant de 60 degrés.

Répo?fSB. 1 ; le point est du même côté que Torigire.