V. Trouver la distance de l'origine à la droite

a(x — fl) -h b{jr — ^) = o.

RÉPONSE. \/a^ ■+- b^,

35. Trouver V équation de la bissectrice de Vangle compris entre les deux droites

orcosa 4- jsina — p =o, xcos(3-l- jsinj3 — p' -- o.

Le moyen le plus simple pour trouver celle équation consiste à exprimer algébriquement cette propriété connue : « Les points de la bissectrice d'un angle sont à égale distance des côtés de cet angle. » Nous avons alors immédiatement l'équation

X cos« -^ jr s\n oc — p = ± {x cos^ -f-;rsin(3 — /?')»

puisque chacun de ses membres exprime la distance d'un de ces points à une des droites ( n° 3^).

Si les équations des droites étaient données sous la forme A:r 4- B^-4- C = o, A'.r -4- B j* -f- C = o, on trouverait pour réqualion de la bissectrice

A:c-f-Br-+-C ^ A'^-f-B'r-hC

V^ÂmTB^ V A'' -4- B'=

Le double signe montre qu'il y a deux bissectrices. Les points de la première sont à égale distance d'une des droites, dans la région que nous considérons comme positive, et de l'autre droite dans sa région négative ; les points de la deuxième sont à égale dislance des deux droites prises dans leurs régions positives ou dans leurs régions négatives.

En prenant le signe de telle façon que les deux termes constants soient de même signe, on a (n'^S^) la bissectrice de l'angle dans lequel se trouve l'origine; en donnant aux deux termes constants des signes contraires, on obtient la bissectrice de l'angle supplémentaire.

DE LA LIGNE D1I0ITB

EXERCICES

I. Ramener les équations des bissectrices des angles formés par les deux droiles de renoncé du n** 33 à la forme jc cosa -+- r sina = p.

RÉPONSE

xcosri(aH-f)H-9o»l-hr6inri{aH-^)-i-9o»l= !^f^ j

*- -^ L -* asin-(a — &)

arcos-(a -h fi) -h j8m-(a -h fy) =

acos-(a-f)

n. Trouver les équations des bissectrices des angles formés par les

droite

3jr H- 4 J — 9 = o, 12 j: -h 5 j — 3 = o.

RÉPONSE. 7-!^ — 9^ H- 34 = o, 9 x -H 7^- = I a. 36. Trouver l'aire du triangle formé par les trois points

Le double de Taire de ce triangle peut s'obtenir, en muliîpliant la longueur de la droite joignant deux de ces points

(•*'i»7'i)» (^>>tO par la dislance du troisième point (xt, x*) « celte ligne. Cette distance lorsque les axes sonl rectangulaires, est égale (n<« 29, 34) à

et comme le dénominateur de cette fraction exprime la longueur de la ligne joignant (x,, /i) à(a*3y jrO» '^ quantité

représente le double de Taire du triangle formé par les trois points.

Nous trouverions, en répétant le même raisonnement et en employant les formules relatives aux axes obliques, que, dans le cas de deux axes faisant entre eux un angle u, il suffit de multiplier l'expression précédente par sinw.

A la rigueur nous devrions faire précéder cette expression

44 CffÀPITRE II.

du double signe, puisque jious l'obtenons en extrayant une racine carrée. Dans le cas où il n\v a qu'une seule aire 5 considérer, et 011 par suite il ne saurait être question que de grandeur absolue, c'est chose inutile. Mais il n'en est plus de même lorsqu'on a à évaluer deux triangles dont les sommels (^8» Ja), (-^4, y*) ^^ se trouvent pas du même côté de la droite joignant (x,, j, ), (j:», ^j)» ^^ Q"î sert de base commune aux deux triangles; il faut alors donner des signes différenis aux aires de ces triangles, et la surface du quadrilatère formé far ces quatre points est la somme, et non la différence, de ces deux triangles.

Corollaire /. — Le double de Taire du triangle formé par les points {x„ j,), (Xi, j,) et l'origine s'obtient en faisant a-a— o, ^3=0 dans l'expression précédente eta pour valeur/, ^rj—jj^,.

' Corollaire IL — Considérée au point de vue géométrique, la condition (n" 30) pour que trois points soient en ligne droite exprime que l'aire du triangle formé par ces trois points est nulle.

37. Exprimer l *aire d *un polfgone en fonction des coordonnées de ses sommets.

Joignons un point quelconque [x, y), pris dans l'intérieur du polygone à tous les sommels (.r,, j,), (j:„ j, ), (jra, ^3), . . ., nous diviserons ainsi le polygone en un certain nombre de triangles, et la somme des aires de ces triangles sera évidemment égale à l'aire du polygone. Le double de l'aire decha(|i;e triangle est (n* 36) respectivement

^{j'— rO — /(-^t —^0 H- ^.j*i 4-^7/1,

x{x„^i — 7« j — /(^fl-i — :r„) -h a-,, j„ -- x„r„,,

Ajoutant toutes ces valeurs, et observant que la somme des facteurs de x ou de/ est nulle (ainsi que cela doit être, puisque l'aire du polygone est indépendante de la manière dont

DE LA LIGHK DKOITB. ^5

elle a éié divisée en triangles], on trouve pour le double de Taire du polygone

( X. j% — .r , j^-, ) -h [x^Xz — x^Xi) -+-...

-h ( ^«-., Xn — ^1. J— I ) -H ( x^r^ — X, Xn), expression qui peut s'écrire

^. O'i — r- ) -^- ^i {.n—x* ) -+- -^3(74 — rO + • • • + ^« (r« — r— J»

ou bien encore

EXERGCES.

I. Trouver Taire du triangle (a, 1), (3, — a), (—4» — 1). RÉPO?iSB. 10.

II. Trouver Taire du triangle (a, 3), (4, — 5), (— 3, — G). Rbpo?(sb. ag.

m. Trouver Taire du quadrilatère (i, i), (a, 3), (3, 3), (4, i).

RÉPO?(SB. 4-

38. Trouver la condition pour que trois droites concourent en un même point.

Soient Ax-4-Br-+-C~o, A'xH-By-+-C'=o, A"x + BV-+-t:":^o

les équations de ces droites.

Si elles se coupent en un même point, les coordonnées de l'intersection de deux d'entre elles doivent satisfaire à la troisième équation.

Les coordonnées de Tintersection des deux premières sont

BC-B^C CA -r/A • AB' — A'B' Ab'-AB'

et en les substituant dans la troisième équation, on trouve A''(BC— B'C)^-B''(CA'-C'A)-4-C''(AB'-A'B) = o; cetle condition peut encore s'écrire des deux manières sui-

vantes

AIB'C- B'C) -f- BCCA'^— C'A') -+- C(A'B''- A"B') = o, A(B'C*^-B"C)H-A'(B"C-BC") -t- A'^IBC- B'C) .^o.

*39. Trouver l'aire du triangle formé par les trois droites

A^ -f- B/ -hC =: o, A'x-4- B'/-hC'=o, X^x-^-B^r-^ G" = o.

Les coordonnées des sommets du triangle s'obtiendront en éliminant successivement jr et ^ entre ces équations prises deux à deux. £n substituant leurs valeurs dans la formule du n** 36, on trouve pour le double de Taire