AB

la relation AM a-r'

= X-.BN devient

On a exprimé ainsi les conditions du problème en fonction des coordonnées du point P; toute confusion étant devenue impossible, on peut remplacer a et ^ parx et r, et on trouve, en chassant les dénominateurs, pour l'équation du lieu,

r^'— ^y = ^[r{r - y) — [rx' - xy')]. II. Deux sommets du triangle ABC (7%. 27] glissent sur deux droites

Fig. 37.

fixes LM et LN, tandis que les trois côtés passent par trois points fixes 0, P, Q, situés en ligne droite; trouver le lieu du troisième sommet.

Prenons pour axe des x la droite OP contenant les trois points fixes, et pour axe das j^ la ligne OL joignant Tintersection des deux droites fixes au point 0. Désignons par a, S les coordonnées du point C, et <oit

0L = ^, OM = fl, ON = û', OP = r, OQ = c'.

Les équations de LM et LN sont évidemment

PtOBLfcMES. SUR LA UGNB DBOITB. 6l

L'équalion de CP, qui |>as8e par ( a, ^) et P ou ( j = o, x = r), est

Les coordonnées de l*intersection À de celle droite avec

>«ronl

nb\% — r\ ->r- nc^ ^ ^(/f — c)p

Celles de B s'obtiendront en accentuant les lettres des précédentes

a'b{ai--'C*]-^a*v'^ b{a* — c'\^

La condition pour que les deux points (x,,v,]', (j^,, r,) se trou\ent sur une droite passant par l'origine est (n^30) : :-^ = ^ ; on aura donc

b{a-c)p b{ri'—c')P nb[oL^c) -h ncp ~ a'b(<i — r;')H- ac'p'

Nous avons ainsi déduit des conditions du problème une relation qui doit être satisraite par les coordonnées a, ^, du point C ; en y remplaçant z, p, par X, y, nous aurons l'équation du lieu sous la forme ordinaire. Chassant les dénominateurs, on trouve

{a — c) [a'b (x - c') H- n'e'j] = (/i'- c') [nb(x - c) -h /îrj] ,

re qui revient à

[ac* — a'c)x Y

cc'[a — a') — aa'(c — c') b équation d'une droite passant par le point L.

m. Les points F et Q du problème précédent sont sur une droite passant, non plus par le point 0, mais par le point L; trouver le lieu du sommet.

Nous traiterons d'abord le cas où les points P et Q ont une position quelconque. Prenons les droites fixes LM, LN pour axes, et désignons respectivement par x' '; x*, /'; x*, j"; a, p, les coordonnées des points Py Q, 0, C. La condi ^ nous avons à exprimer revient à ceci : les

droites CP, CQ, ce '<« aux points A et B, la droite AB doit

passer par le point

L'équation de CP i

6l GHAPITRR III.

Le segment LA qu'elle détermine sur Taxe des x a pour valeur