Nous avons vu (40) que l'équation
xcos a -4- ^ sîn a — p — h(x cos (î-4-jsinj3— />') = o
est celle d'une droite passant par l'intersection des deux lignes
jrcosa+^sina — /> = o, xcos^ 4-j^sin j3 — />'— o.
Si, pour abréger, nous représentons
X cos a -h j sin a — /?, a: cos (3 -h^sin ^—p',
par a, p, nous pourrons exprimer plus simplement le théorème que nous venons de rappeler, et considérer l'équation a — k^z=o comme celle d'une droite passant par l'intersection des deux lignes données par les équations a = o, |3 = o. Nous appellerons a et {3 ces dernières lignes, et (a, P) leur point d'intersection.
Lorsqu'il y aura lieu d'employer des abréviations analogues pour les équations de la forme Ax -^ Bx -4- C = o, nous nous servirons des lettres romaines, réservant les lettres grecques pour le cas exclusif où les équations sont de la forme
a:cosa-l-7"sin a — p = o,
54. Cherchons maintenant la signification du coefficient k de l'équation a — /rj3 = o. Nous avons vu (3i) que a (c'est-à-dire xcosa -hj^sina — ;?) était la distance du point {x,x) à la ligne OA, que nous supposons représentée par a : de même ^ est la dislance du point {x,x) à la droite OB représentée
8o CHAPITRE IV.
pBr |3. L'équation
exprime donc que si, d'un point du lieu qu'elle représente, on abaisse des perpendiculaires PA, PB sur les droiies OA, OB (Jig. 35), le rapport de ces perpendiculaires PA : PB est con-
Flg. 35.
stant et égal à k. Ce lieu est une ligne droite passant par le
point 0, et on a
, PA sin POA
PB~sinPOB*
En se reportant à la convention . faite relativement aux signes (34^), on voit que an- /r (3 = o représente une droite divisant extérieurement l'angle AOB en deux parties telles,
que -: — iTT-TK = k : il est bien entendu, dans ce que nous ve- ^ smPOB ^
nous de dire, que les perpendiculaires PA et PB sont celles
que nous sommes convenu de regarder comme positives;
celles qui tombent sur les directions opposées à a et ^ étant
considérées comme négatives.
EXERCICES
I. Démontrer, en employant ces notations, que les trois bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un même point.
Les équations des trois bissectrices du triangle formé par les droites a, p et 7 sont évidemment (35, 34) : a — p = o, p — 7 = o, 7 — a = o, et leur somme est identiquement nulle.
II. I^s bissectrices extérieures de deux des angles d'un triangle se rencontrent sur la bissectrice intérieure du troisième angle.
En se reportant à la convention relative aux signes, on voit que a+P = o, a H- 7 = o, sont les équations des bissectrices extérieures : si on les retranche l'une de l'autre, on trouve p — 7 = o, équation de la bissectrice intérieure du troisième angle.
VM LA LI6KB DIOITl, NOTATIONS ABRÉGÉES. 8l
m. Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.
Désignons respectivement par A, B, C les angles opposés aux côtés a, p, 7. La hauteur passant par le sommet A divise Tangle correspondant en deux autres, qui sont respectivement complémentaires des angles B et C :
son équation sera donc
acosA — pcosB = o.
Qn trouverait de même pour les autres hauteurs :
PcosB — ycosC = 0, ycosC — acosA = o.
Ces trois droites se coupent évidemment en un même point.
IV. Les trois médianes d*un triangle se coupent en un même point. Le rapport des distances du milieu du côté 7 aux deux autres côtés a et S est sîn A : sinB. Les équations des médianes seront donc
zsinA — ^sinB = o, ^sinB — ysinC = o, ysinC ~ asinA = o.
Leur somme est identiquement nulle.
Y. Les longueurs des côtés 2, p, 7, i d*un quadrilatère sont a, b, r, d; trourer Téquation de la droite joignant les milieux des diagonales.
Celle équation est «a — ^p-t- C7 — rf^ = o; en effet, la droite qu'elle représente passe par rintersection des droites au ^ bp et cy — fi 9, qui, d*après l'Exercice précédent, sont les médianes de la base commune aux deux triangles formés par une diagonale dans le quadrilatère; elle passe aussi par rintersection des droites ast — dS ei cy — bp, qui se coupent au milieu de Tautre diagonale.
VI. Trouver Téquation de la perpendl.culaire élevée sur la base p d*un triangle, et à son extrémité C.
RÉPONSE. a -h 7 cosB = o.
Vn. Si Ton a deux triangles tels, que les perpendiculaires abaissées des sommets du premier sur les côtés du second se coupent en un même point; réciproquement, les perpendiculaires abaissées des sommets du second sur les côtés du premier se couperont en un même point.
Soient a, p, 7 ; «', p\ i les côtés des triangles ; désignons par (a p) l'angle compris entre a et 6 ; nous aurons respectivement, pour les équations des perpendiculaires abaissées de (a, p) sur 7', de (P, 7) sur a', de (a, 7)
mp\
acos (py) — pcos(a7') = o, Pcos(7a') — 7 COs(Pa') = o, 7C0S(ap')— aC0S(7p') = O.
8a CHAPITRE IV.
On trouvera la condition pour que ces trois droites se coupent en un même point, en éliminant p entre les deux premières équations et en exprimant que le réiultat obtenu estid entique à la troisième. On aura ainsi
COS{a^')cos(p7')cos(7a') = cos(a'P) cos(f.'7) cosfy'a).
La symétrie de cette équation montre qu'elle exprime aussi la condition pour que les perpendiculaires abaissées des sommets du second triangle sur les côtés opposés du premier se rencontrent en un même point.
55. La droite a — /f^ = o fait évidemment, avec la ligne a, le même angle que la droite A'a — f3 = o fait avec ^ : ces deux droites sont donc également inclinées sur la bissectrice a— p=:o.
EXERCICE
Si, par les sommets d'un triangle, on mène trois droites se coupant en un même point, les trois droites menées par ces sommets et faisant avec les bissectrices des angles correspondants, les mêmes angles que les premières se couperont aussi en un même point.
Les côtés du triangle étant a, p, 7, les équations des trois premières droites seront
Ix — //i p = o, m p — «7 = 0, «7 — - /x = o ;
car ces droites se coupent en un point (40] et passent respectivement par les points (a, P), (P^y), (7, a). Les équations des trois autres droites seront, d'après ce que nous venons de dire plus haut,
/ m m n ni
ce qui (40) démontre le théorème. *
56. Lorsqu'un faisceau de quatre droites OA, OP, OP', OB, issues du même point est coupé par une transversale aux quatre
