AC, AB, BD, AD, BC
en fonction desquelles nous allons chercher à exprimer toutes les autres
lignes de la figure (^. 38).
Fig. 38.
L*équation de CD sera
/a — ///Ph-«7 = o,
puisque cette droite passe par l'intersection D des deux droites la — m^
et 7, et par Tintersection C de ///f — /17 et a. De même /a — /17 =r o
est l'équation de OE, puisque OE passe par E ou (a, 7), et par 0 ou
(/a — ///p, mp — ny),
La droite EF joint le point E ou (a, 7 ] au point F ou ( /z — ///p -h /17, 7) ;
son équation sera donc
Les quatre lignes EA, EO, EB, EF forment un faisceau harmonique (55), puisqu'elles ont pour équations
a = o, 7 = 0, lx± ny = o.
La droite FO joint le point F, (/a + 717, p), au point 0,
( /a — 7/1 p , 77/ p — 717) ; son équation est donc
Les quatre lignes FE, FC, FO et FA forment aussi un faisceau harmonique (57), puisqu'elles sont représentées par
/a —- Twp H- 7?7 = o, p = o, /a — 7m p -h 717 ± 777p = o. Les quatre droites OÇ, OE, OD^ OE constituent aussi un faisceau harmo-
BB LÀ LIGNS DROITS. ROTATIONS ABEfiCÉBS. 87
nique, puisqu'elles ont pour équations
/a— /wP = o, /ï/^ — «7=0, /a — wp±(wp — /f7) = 0.
II. Discuter les propriétés d un système de droites formé en menant par les sommets d*un triangle ABC des droites AD, BE, CF, se coupant en on même point 0.
Soient a, p, 7, les côtés BC, AC et AB du triangle [fg, 39) ; /wf - n^^
Fig. 39.
«7 — /a, U — mp les droites AO, BO, CO [voir n" 55).
Les équations des lignes EF, DF, DE qui joignent deux à deux les points ou les droites issues des sommets viennent rencontrer les côtés s'obtiendront facilement. Ainsi l'équation de EF, qui passe par les points E, ou (p,«7 — /«), et F, ou (7, ///p — /a), est
/WP-+-/17 — /a = o.
On trouverait de même pour Téquation de DF
la. — wf-f- /17 = o,
et pour celle de DE
Les points L, M, N, où les droites EF, DF, DE rencontrent les côtés CB, AC, AB du triangle qui leur sont respectivement opposés sont sur ane droite qui a pour équation
car elle passe par les points N ou (/a h- w p ~ 717, 7) , M ou (/a — w p -h «7, S)^ L ou ( /?#p -H /17 — /a, a).
Le côté BN du triangle est divisé harmoniqùement par les droites CN^ Câ, G^, CB, puisqu'elles ont pour iquations
a = o, P = o, /a — wîp = o, /a-h//ip=04
On rencontre assez souvent des cas où l'on peut se servir des équatîoBS précédentes. Ainsi (54, Ex. III), l'équation de la droite joignant
les pieds de deux hauteurs est aco8A + ^cosB — 7C0sC = o ; et la droite a cosA -+• ^cosB -h 7C0SC = o passe par les points d'intersection des lignes joignant les pieds des hauteurs, avec les côtés opposés du triangle. De même (54, Ex. IV] la droite a8inA+ psinB — ysinC joint les milieux de deux côtés du triangle, etc.
III. Deux triangles sont homologues lorsque les intersections de leurs côtés correspondants se trouvent sur une droite qui est Vare d^homologie; prouver que les droites joignant les sommets correspondants de deux triangles homologues se coupent en même point.
Soient a, p, 7 les côtés du premier triangle, /a -h /wp -+- /?7 Taxe d'homologie, Téquation du côté du deuxième triangle passant par Tintersection de a avec cet axe sera de la forme /'a -+- wp -+- /17 = o ; de même celles des deux autres côtés seront
Dès lors les lignes joignant les sommets correspondants auront pour équations
(/-/')k = (//i — /lOP, (//i -/;/') s =(/i-/i')7, («„')7 = (//') a.
Elles passent par un même point, que Ton appelle centre (Vhnmologic.
61. Trouver la condition pour que les deux droites la -h m^ -\- ny, /'a H- m'(3 -f- n'y, soient perpendiculaires entre elles.
En remplaçant, comme au n"60, a, (3 et y par leurs équivalents, et en ayant égard à la relation obtenue n''25, corollaire II (AA'-f- BB'=o), on trouve
//'-+- mm' -h nn'-\-{mn' -^ m'/i)cos(j3 — y)
[nV'hn'l)Q0s[y — 0L)-k-[lm'-^ /'m)cos(a— (3) = o,
d'ailleurs, (3 et y étant les angles que font, avec Taxe des .r, les perpendiculaires abaissées sur les droites (3 et y, P — y représente Tangle compris entre ces perpendiculaires, et par suite est égal à Tangle compris entre les deux droites elles-mêmes ou à son supplément. Si Ton suppose que Toriglne se trouve dans l'intérieur du triangle formé par les droites a, (3, y, et que A, B, C, soient les angles de ce triangle, (3 — y sera le supplément de A, et la condition pour que les droites soient per-
1>1L l.Jk 1.1UKB BftOlTB. N0TAT10H8 AtftÉGtBS. 89
Vfcti&\e\iU\res pourra s'écrire
U'-\-mm'-*- nn'— (/w/i'-i-m'n)cosA
— {nt-^ n'/)cosB — (/m'-hm/')cosC = o.
Ainsi la droite Za -f- m ^ -h /i y esl perpendiculaire à y, quand on a
n = m cos A -h / cos B.
On trouverait de même que, en partant de la formule n* 3(, la disunce du point (jr',/)à la droite /«-+- mj3 -h «'y est donnée par l'expression
/g' H- m^-h ny
V'-h m* -h n^ — 2 mn cos A — 2/1/ cos B — 2 /mcosC
où Ton a fait a'=x'cosa H- j^'sina — /i». . . .
EXERaCES.
I. Trouver réquation de la perpendicalaire élevée à la droite 7 en son eitrémîté B, où elle eat rencontrée par la droite a. Celte équation est de la forme /je -+- /17 = o; la condition de perpendicularilé donne n = i cosB, B étant Fangle des droites a et 7. (roirn'' 51, Ex. VI.)
n. Trouver Téquation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de 7.
Le point milieu de 7 est Tinlersection de 7 avec a sin A — ^ sin ^ ( a, p, 7, A, B, C ayant la signification indiquée ci-dessus); par suite Téquation sera de la forme a sinA — ^ sinB -f- /17 = o, avec la œndition
n = sin(A — B).
III. Les trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d*un triangle se coupent en un même point.
Les équations de deux de ces droites sont
asinA — ^sinB + 78in(A — B) = o, psinB — 7sinC-f-asin(B- C)=ro.
En éliminant successivement x, ^, 7 entre ces deux équations, on trouve, pour les lignes qui joignent Tinterseclion do ces deux droites aux trois som-
mets, — j = — i-= = — ^ : la symétrie de ces équations montre que
les trois perpendiculaires se coupent en un même point.
IV. Trouver, d'après le n*^ 25, le sinus, le cosinus et la tangente do Fangle compris entre les deux droites /a -^ nip-^ 7/7, /'« -h m'^ h- n'y.
V. Prouver que acosA + ^cosB + ycosC est perpendiculaire à asinAcosÂsin(B— C)-4-^sinBcosBsin(C — A)+7sinCcosGsin(4 — B).
VI. Trouver Téquation de la droite menée par le point (a', ^', 7') perpendiculairement à la droite 7.
RÉPONSE. a(3'H-7'co8A) — S(a'-h7'cosB)-i-7(p'cosB — a'cosA) = 0.
62. Nous avons vu qu'en prenant trois droites quelconques, a, p et y, nous pourrions toujours mettre Téquation (l*une quatrième droite sous la forme
/a-f- m(3-f- ny = o,
et résoudre des problèmes, par une série d'équations en a, p, y, sans faire aucune mention directe de a: et de/. Nous pouvons maintenant envisager à un autre point de vue le principe exposé au n" 60, et au lieu de considérer a simplement comme abréviation de la quantité a: cosa-+-j^sin a — />, le regarder comme exprimant la distance d'un point à une droite a. Nous nous trouvons ainsi conduits a imaginer un système de coordonnées trilinéaires dans lequel la position d'un point est définie par ses distances à trois droites fixes [qu'on appelle lignes de référence ), et la position d'une droite par une équation homogène entre les distances de ses points aux lignes de référence, équation de la forme
/a -h mp 4- ny = 0.
Dans les coordonnées cartésiennes (coordonnées ordinaires en X et/), la plus grande simplification à laquelle on puisse arriver consiste à choisir pour axes deux des lignes les plus remarquables de la figure : dans les coordonnées trilinéaires, et c'est là leur avantage, on peut espérer une simplification plus grande, puisqu'on peut prendre trois des lignes de la question pour lignes de référence a, p, y. Pour se convaincre de ce qui précède, il suffit de comparer les expressions données au n^5^ à celles qui leur correspondent dans le Chapitre 11.
63. Les distances d'un point 0 aux droites de référence a, p, y sont liées entre elles par la relation
aa -h 6(3-f-cy = M,
BB LA LIGNB DROITE. IfOTlTIOMB ABRÉGÉBS. 9I
dans laquelle a, b, c, sont les longueurs des côtés , et M le double de l'aire du triangle ABC de référence. Cela est évident, puisque aa, b^, cy expriment respectivement le double de l'aire des triangles OBC, OCA, OAB. Celte relation subsiste toujours, que le point 0 soit ou non dans l'intérieur du triangle ABC : rappelons-nous, en effet, que, lorsque le point ne se trouve pas d*un même côté d'une des lignes {a) de référence que des autres, sa distance à cette ligne doit recevoir le signe — : la quantité aa -f- 6(3 4- cy devient alors le double de OCA -+- OAB -- OBC, c'est-à-dire reste encore le double de l'aire du triangle.
Puisque sinA, sinB, sinC sont proportionnels à a, b, c, la quantité
a sin A -h |3 sin B + y sin C
est aussi constante : ce que d'ailleurs on peut démontrer autrement. En effet, cette quantité est égale à
asin((3 — y)-+-psin(y— a) -f- y sin (a— (3),
et en remplaçant dans cette expression a, |3, y par leurs] équivalents en X et /, on voit que les termes en jr et j s'évanouissent.
Le théorème que nous venons de démontrer permet d'employer toujours des équations homogènes en a, |3 et y : ainsi par exemple l'équation a = 3 peut se mettre sous la forme homogène
Ma = 3(flflt-t-6;3 -hey).
64. Trouver en coordonnées iriiinéaires Vêquation d*une parallèle à la droite /« -h m(3 -f- ny.
En coordonnées cartésiennes, deux droites, kx-^ B/-t- C, kx -4- Bj^ -4- c, sont parallèles lorsque leurs équations ne diffèrent que par une constante. L'équation
/«H- m|3-l-ny-H/f (asinA -h (3sinB -t- ysinCj = o
représente donc une parallèle à la droite /a-+-mp-hny=:o.
9^ chàpitrb iy.
puisqu'elle ne diffère de réquation de cette droite que par une quantité que nous venons de démontrer constante.
La droite Aa7-+-Bj^-f- C H-(AarH-Bj4-C')= o est aussi parallèle aux deux droites kx -+- B/-4- C=o, A^ -+- Bj -+- C'= o; elle est de plus à égale distance de chacune d'elles. Si donc deux équations P=:o, P' = o, sont telles que P — P'=const., l'équation P -+- P' = o représente une parallèle à P et P', passant à égale distance de ces droites.
EXERCICES
I. Trouver Téqualion de la parallèle menée à la base 7 d*un triangle par le sommet C.
RÉPONSE. a sin A + ^ sin B = o.
Cette droite passe en effet par a, p^ et son équation, qui peut s'écrire ysinC— (asinA-f- BsinB H-ysinC) = o,
ne diffère de 7 = o que par une constante.
Nous voyons ainsi que cette parallèle asin + ^sinB et la médiane de la base asinA— ^sinB forment, avec a et p, un faisceau harmonique (57).
II. La droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. En effet, son équation est (60, Ex. Il),
asinA-f- psinC — 7 sinC = o, ou 27sinC= asinA-+- psinBH-7sinC.
III. La droite ax — b^ ■+■ c^f — d$ (34, Ex. V) passe par le milieu de la ligne joignant (x, 7), (p, J). En effet, la quantité («a -+- 07) h- (^p -h d$) est constante comme étant lo double de Taire du quadrilatère : donc les droites act-^c^ et bp-hfi^ sont parallèles; il en est de même de (aa-h r7) H- (^^ -f- cl9) qui passe à égale distance des deux premières. Cette dernière droite divise donc en deux parties égales la droite joignant les points (a, 7) et (^, S) pris respectivement sur la première et sur la seconde droite.
65. Écrire sons la forme /« -f- m (3 -t- ny = o l'équation de la droite joignant les deux points (^ ,/'), {x", y^').
Désignons toujours par a', (3\ . . ., les quantités
x' cos a -t-/' sin a' — ;?,
DE LA U6NB DtOITI. NOTATIOKS AfiEfiGÉBS. gi
La coQdiiion pour que les coordonnées x'f y' satisfassent à
réquation
la -l-mp-f-ny=o
pourra s'écrire
/a'-f- rap'-h n/mo,
et on aura de même
/a''-f-mp" + ny' = o.
Tirant de ces deux équations les valeurs du rapport -9 — ) et
les portant dans l'équation primitive» on obtient pour Téquation de la droite joignant les deux points
On doit observer que les équations en coordonnées trilinéaires étant homogènes» il n'y a pas lieu de considérer les distances absolues d'un point aux lignes de référence, mais seulement leurs rapports. Ainsi l'équation précédente ne sera pas altérée si l'on y remplace a', (3', y', par p«', pj3', py* . Si donc
un point est donné comme intersection des droites -7 = -i^ = ^ «
on peut prendre /» m et n comme ses coordonnées trilinéalres. Car SI nous désignons par p la valeur de ces fractions, les distances du point aux lignes de référence seront /p, mp, np, p étant donné par l'équation alp -h bmp -h cnp == M; mais, ainsi que nous l'avons fait voir, nous n'avons pas besoin de déterminer p. Partant de là, nous pouvons prendre pour les coordonnées de l'intersection des médianes du triangle ABC : sin B sin G, sin C sin A, sin A sin B ; pour celles des hauteurs : cosBcosC, cosCcosA, cosAcosB; pour celles du centre du cercle inscrit : t, i, 1 ; pour celles du cercle circonscrit : cos A, cosB, cosC, etc.
I. Trouver l'équation de la droite joignant Tintersection des hauteurs à celle des médianes.
Répo.xsB.
2SinAco3Asin(B— C) -h psinBcosBsin(C — A)
H- 7 sinCcosCsin( A — B) = o.
g4 CHAPITRE lY.
II. Trouver Téquation de la ligne joignant les centres des cercles inscrits et circonscrits.
REPONSE
a(cosB — cosC)-t-PlcosC— cosA) -f-7(cosA — cosB) = o.
66. On peut démontrer, comme au n** 7, que si une droite joignant deux points se trouve divisée par un troisième point dans le rapport / : m, la distance de ce point de division à une
droite a sera — -, y a' et a" étant les distances des deux
premiers à cette même droite. Les coordonnées trilinéaires du point divisant» dans le rapport / : m, la droite joignant les points («% P'. /)» («"» (^^ y"), seront donc : /«'-+- m(x\ /p'-t-m^", // + my^. Il est du reste évident que le point dont nous venons de donner les coordonnées se trouve sur la droite joignant les points donnés, puisque si a', (3', /, a", P", y", satisfont à la fois à réquation Aa -4- B(3 -+-Cy = o, il en sera de même de la' -h m"».. ..
Les propositions suivantes se démontrent sans difficulté {*) : Le point la!— ma'' est quatrième harmonique aux trois points la' -^-ma*^ a', a". Le rapport anharmonique des points a' — ka", a' —la"^ al — ma" y a' — na" ^ a pour valeur
Lorsque les deux systèmes de points a' — ha''^ a' — /a", . . . , as— ka^y ai— la^y, . ., sont situés chacun en ligne droite, ils sont ho mo graphiques , puisque le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première droite est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants de la seconde.
