Quelle est la ligne représentée par
a sin A + (3 sin B -h y sin C = o.
(■) Le point (/a'-H ma", l^'-i-mfi", ly'-hly") est désigné, pour abréger, par point /«'+ ma".
DS LJL 1.1CKB 1>KOITE. NOTATIONS ABfttGÉBS. 96
Celte équaUon, par sa forme, rappelle celle de la ligne droite ;
mais nous avons vu (63)quelaquantité(zsin A-H jSsinB + ysinC
était constame et jamais nulle. En nous reportant à Téqua-
tion générale de la ligne droite Ax-h B/-t- C = o, nous voyons
que les segments interceptés sur les axes par cette droite sont
C C — -T-' — ~D^ P^^ conséquent, plus A et B sont petits, plus ces
segments sont grands, et' par suite plus grande est la distance
à laquelle cette droite se trouve de l'origine. Si donc A et B
sont nuls à la fois, les segments deviennent inflnis, et la droite
esta une distance infinie de Torigine. L'équation revient alors
à celle-ci : o.x -4-o./H-C = o, et on voit que si elle ne peut
être satisfaite par des valeurs finies de x et de^, elle peut l'être
par des valeurs Infinie^, puisque le produit d'une quantité
nulle par une quantité infinie est indéterminé et peut être
fini. Donc Véquation a sin A + 13 sin B + y sin C = o représente
une droite située tout entière à une distance infinie de Vori^
gine. En coordonnées cartésiennes, l'équation d'une pareille
droite est o.x -ho.jr-{'C = o : nous la représenterons, pour
abréger, par 0 = 0.
68. Nous avons vu (64) que l'équation a + C = o représentait une parallèle à a = o; ce que nous venons de dire montre que ce n*est là qu'une extension du principe exposé au n^ 40. Une parallèle à a peut en efTet être considérée comme rencontrant a à l'infini, et l'équation a + C =3 o représente (40) une droite passant par l'intersection de a = o et de C = o, autrement dit par l'intersection de a avec une droite à l'infini (67).
69. Les coordonnées cartésiennes ne sont qu'un cas particulier des coordonnées trilinéaires. Cependant il parait exister au premier abord une diiïérence essentielle entre les deux systèmes : les équations trilinéaires sont toutes homogènes, tandis que les équations cartés^iennes que nous avons rencontrées jusqu'Ici renferment un terme absolu, des termes du premier degré, du deuxième, etc. Mais un peu de réflexion montre que celte différence n'est qu'apparente, et que les équations
9^ GHIPITRB IT.
cartésiennes sont homogènes en réalité, bien qu'elles ne le soient pas dans la forme. L'équation x = 3, par exemple, signlfîe que la ligne x est égale à 3 mètres, 3 décimètres, ou à trois fois une unité linéaire quelconque; Téquaiion j7j = 9 exprime que le rectangle xy est égal à g mètres carrés, 9 décimètres carrés, ou à neuf fois le carré fait sur une certaine unité linéaire, et ainsi des autres.
Pour que nos équations deviennent homogènes dans la forme, comme elles le sont au fond, nous n'avons qu'à représenter par z l'unité linéaire, et écrire l'équation de la droite
Aar-h B^'-l-Cz = o.
En la comparant avec l'autre équation
Aa-i-B(3-i-Cy = o,
et nous rappelant (67) que, lorsqu'une ligne est à l'infîni, son équation prend la forme z = o, nous voyons que les équations en coosxlonnées cartésiennes ne sont que la forme particulière prise par les équations en coordonnées trilinéaires , lorsque deux des lignes de référence devenant axes de coordonnées^ la troisième ligne de référence s* éloigne à r infini.
70. Nous terminerons ce Chapitre par quelques indications sur les systèmes de coordonnées tangentielles. Dans un pareil système, la position d'une droite est déOnie par des coordonnées, et celle d'un point par une équation ; toutefois, dans cet ouvrage, nous le considérerons moins comme un nouveau système de coordonnées, que comme une nouvelle manière d'interpréter les équations. L'équalion d'une droite (en coordonnées trilinéaires ou cartésiennes) étant
Ix -i- [Ly -\' vz =0,
la position de celte droite sera déterminée lorsque Ton connaîtra les quantités X, p, v : nous pouvons dès lors appeler ces trois quantités ( ou plutôt leurs rapports qui sont seuls à considérer) les coordonnées tungentielles delà ligne droite. Lorsque cette droite passe par un point fixe ( x'y y y z' ), on a
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la relation Xj/ -h jul^ -h v2' = o; si donc on se donne une équation de la forme a). -^ 6/ui H- cv = o , entre les coordonnées X, ^ et V d'une droite, elle exprime que cette droite passe parle point flxe(a, 6, c) (51), et peut s'appeler l'équation de ce point.
Nous pouvons employer des abréviations pour les équations de points, et représenter par a, J3, les quantités ^'X H- j'p-h^'v, x'I-hjr^ u -h z^v; alors /a -t- w^ = o est l'équation du point divisant dans un rapport donné la droite qui joint les points [x^ P); lac=:mp, m^z^ny, ny^=^laL sont les équations de trois points en ligne droite; a-h/r(3, a — A (3, représentent deux points qui forment avec (a, (3) un système harmonique.
Au reste, nous développerons ces analogies plus loin, et nous aurons alors occasion de montrer que les théorèmes respectivement relatifs aux points et aux droites ont une corrélation telle, que, les uns étant donnés, on peut en déduire les autres, et que souvent on peut les démontrer les uns et les autres, en interprétant diversement les mêmes équations. Les théorèmes auxquels nous venons de faire allusion s'appellent théorèmes réciproques.
EXERQCE.
Interpréter en coordonnées tangentielles les équations employées (60, Ex. 11).
Soient <x, p, y les équations des points A, B, C; mp — /ly, ny ~~ /a, iz — mp, celles des points L, M, N; on voit que mp -h ny — Iol, ny -h- loi — WjS, /a -h wf» — //y représentent les sommets du triangle formé par LA , MB, NC : /a -+- mp -h ny définit le point 0 où concourent les droites joignant les sommets de ce triangle aux sommets du trianglo primitif : wp H- /?7, ny -+- /a, /a -h m^ représentent D, E, F.
Il est dès lors facile de voir les points de la fij^ure qui forment des dividions harmoniques.
9® CHAPITRB V.
DES ÉQUATIONS D UN DEGRÉ SUPÉRIEUR AU PREMIER REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES.
71. Avant de nous occuper des courbes représentées par des équations d'un degré supérieur au premier, nous allons examiner quelques cas où ces équations représentent des lignes droites.
Si Ton fait le produit d'un nombre quelconque d'équations L=o, M = o, N = o, on obtient une équation composée LMN... =o, qui représente l'ensemble de toutes les lignes correspondantes à chacun de ses facteurs, puisqu'elle est satisfaite par les valeurs des coordonnées qui annulent séparément chacun d'eux. Réciproquement : Si une équation d'un degré quelconque peut se décomposer en plusieurs équations de degré moindre, elle représente l'ensemble de tous les lieux correspondant à ces dernières équations.
Ainsi lorsqu'une équation du n'*^* degré peut se décomposer en n facteurs du premier degré, elle représente n droites.
72. Une équation homogène du /i""* degré entre les variables représente n droites passant par Vorigine.
Soit l'équation
x" — px^^^jr-h qx'^'^y'^ — ... H- /^" = o; en la divisant par/", il vient
Si a, fr, c,..., sont les n racines de cette équation, on peut l'écrire
liES <QCATIONS BIPfttSBUTANT DBS L1GRB8 CROITBS. Og
et réquatîon primitive se met sous la forme
On voit ainsi qu'elle représente n droites, x — a/ = o,.. ,, passant toutes par Torigine. En particulier, l'équation homogène ,
x^ — pxj* -+- qjr* z= o
représente les deux droites x — ax = o : a eib étant les racines de réquation du deuxième degré
On prouverait de la même manière que l'équation
(x — a)-— />(x— a)"-'(7-— 6)-f-^(ar--a)"-*(j— ft)'-^-••• représente n droites passant par le point {a, fr).
EXERQCES.
