I. Que représente Téqualion xjr=ot

RÉPO?iSB. Les deux axes; puisqu'elle est satisfaite par Tune ou Tautre des suppositions x= o, jrz= o.

n. Que représente Féqualion x^^jr^= o?

RÉPOKSE. Les bissectrices x dbjr = o des angles formés par les axes (39).

ni. Que représente Féquation jt*— Sor^-h 6j*= o?

RicpoNSB. X — a/ = o, or — 3/ = o.

lY. Que représente Téquation x^— ajrjsécO -t-j' =r o?

RipoNSE. jr=7lang( 45 ±-ô j.

V. Quelles sont les lignes représentées par x*— axj tango — j* = oT

VI. Quelles sont les lignes représentées par x" — 6x^jr -f- 1 ixj'— 6jr*=o?

73. Examinons plus en détail les trois cas qui peuvent se présenter dans la résolution de l'équation x^ — pxjr 4- gxjr'=: o,

lO» chàpitrb t.

ou

— \ — P — h^=o,suivanlqaelesracinesael6

de celle dernière sonl réelles el inégales, ou bien imaginaires.

Le premier cas ne présenle aucune difficullé : a el 6 sonl les langenles des angles que les droiles fonl avec l'axe des y (les axes éiani supposés reciangulaires) ; p esl la somme de ces langenles, el q esl leur produil.

Dans le second cas , a = 6 : on dii habiluellemeni que Téqualion ne représenle plus qu'une droile [x — ay"=^o)\ mais alors le fail géomélrique ne correspond pas à l'expression algébrique, el il y a avanlage à faire disparaître ce désaccord. Nous regarderons donc, dans ce cas, Téqualion comme représenlanl deux droites qui coïncident , el non pas une seule droite, de msme que nous disons que Téquaiion a deux racines égales, el non pas qu'elle n'a (\\ïune seule racine.

Dans le iroisième cas, les racines sonl toules les deux imaginaires, el on ne peul satisfaire à l'équalion par aucunes coordonnées réelles aulres que celles de l'origine a: = 0,^'=: o : aussi dii-on habiluellemeni que l'équalion ne représenle plus un syslème de lignes droiles, mais bien l'origine. Celte manière de s'exprimer soulève plusieurs objeciions, elle suppose, en effel, que, dans ceriains cas, une seule équalion peul représenler un point; el cependani nous avons vu (n"" \k) qu'il faul deux équalions pour déterminer un poinl. Elle suppose, en oulre, qu'une quanlilé innombrable d'équalions peuvenièire regardées comme celles d'un même point; car du momenl où p^ esl inférieur à 49« les racines sonl imaginaires, indépendammenl des valeurs parliculières de /; el de g : el nous avons loujours considéré les équalions différenles comme n'ayanl pas la même signiHcalion géomélrique. Nous irouverons donc préférable de calquer le langage de la géométrie sur celui de l'algèbre, en disanl que l'équalion représenle deux droiles imaginaires, el non pas qu'elle ne représenle aucune droite, de même que, dans ce cas, où p^ esl inférieur à 49> nous disons que l'équation a deux racines imaginaires, el non pas qu'elle n'a poinl de racines.

En résumé, l'équalion or' — pxy-f- qy^ = o pouvant, dans

i>ES tQQkTiOKa repr£sb?itakt des lignes droites. loi

lous les cas, se nielire sous la forme [x ^ ajr){x— hy') = o, représente loujours» quels que soient a et b, deux droites passant |»arVong\ne. Si a et 6 sont réels, les deux droites sont réeWes; lorsque n est égal à b, les deux droites coïncident, ^nfia quand a et b sont imaginaires, les deux droites sont \maç\naîres. Il peut paraître, de prime abord, indifférent d adopier telle ou telle manière de s'exprimer; mais nous verrons parla suite à combien d'analogies importantes peuvent conduire les principes que nous venons d'indiquer. De semblables remarques s'appliquent à l'équation

puisqu'on peut la ramener à la forme x» — /?jr>'-i- g/*== o, eo divisant tous ses termes parte coefficient de x\ Elle représente donc toujours deux droites passant par l'origine; ces droites sont réelles lorsque B'-— 4 AC est positif, coïncident lorsque B' — 4^^ ^^^ nul, enfin deviennent imaginaires lorsque B' — 4^^ ®s^ négatif.

Nous interpréterons, de la même manière que ci-dessus, les racines égales ou imaginaires qui pourront se rencontrer dans réquation homogène du n***' degré.

74. Trouver l'angle compris entre les droites représentées par l'équalion x* — pxj'-^ qy^ = o.

L'équation équivalente étant {x — aj'){x— 6j) = o, la lan-

gente de l'angle 9, compris entre les deux droites, aura pour

expression (25)

mais, d'après la théorie des équations ,

ab=:q^ a — bz=^p'—^q, donc

tango = ÎXZlM.

Si l'équation avait été donnée sous la forme

A^' -+- Bary- H- C^* = o ,

lOa CHAPITBB T.

on aurait trouvé,