B' — 4AC

Coro//a/re.— Les droiles son l perpendiculaires lorsque tang(p devient infini, c'est-à-dire lorsque j = — i, ou A-hC=o, suivant que l'on considère la première ou la deuxième forme d'équation.

Quand les axes sont obliques, l'angle tics deux droites est défini par la relation

sina)v/B'---4AC ^"^'^""A + C-Bcoso)'

EXERQCE.

Trouver l'angle compris entre les droites

x' -H j*^ — 6 r' = p, X* — 2xjsécO-+- j' = 0. Réponâb. (f = 45**, r = 9.

75. Trouver l'équation des bissectrices des angles que forment les droites représentées par Inéquation

Ax'-i- Bxy H- C^* = o.

Soient x — cï/ = o, x — fr/= o, les deux droites ; x — ij.y=Of l'équation d'une bissectrice.- Pour déterminer ft, remarquons (18) que p est la tangente de l'angle fait par la bissectrice avec l'axe des y, et que cet angle est égal à la demi-somme des angles faits par les droites avec cet axe : nous avons donc

2|UL a "h b ^

I — ix^ I — «6 '

mais, d'après la théorie des équations,

par suite

ZfJL . B

DBS ÉQUATIONS REPRÉSENTANT DES LIGNES DROITES. Io3

OU

Nous avons ainsi, pour déterminer p, une équation du deuxième degré : une des racines sera la tangente de Tanglc (ait avec l'axe des y par la bissectrice intérieure des deux droites; l'autre, la tangente de l'angle fait par la bissectrice extérieure avec ce même axe. En remplaçant dans la der-

nière équation ^k par sa valeur—» nous trouverons, pour Té-

quatioQ composée des deux bissectrices,

jt' — 1 — ^ — xy — 47*= o(*).

Elle montre (74) que ces bissectrices se coupent à angle droit.

On pourrait arriver au même résultat en posant (35) les équations des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle formé par les droites x — qy = o, ^ — 6j = o, les multipliant l'une par l'autre, chassant les dénominateurs et remplaçant a-^by ab parleurs valeurs en fonction des coefficients A, BetC.

76. Nous avons vu que l'équation du second degré peut représenter deux droites, autrement dit, se décomposer en deux facteurs du premier degré; pour qu'il en soit ainsi, il faut que ses coefGcients satisfassent à une condition que nous allons déterminer.

(*) Les racines de cette équation sont toujours réelles, même lorsque celles de l'équation primitÎTe Aj:*h- Bjr^H-C^*= o sont imaginaires. Ainsi : « Les bissectrices des angles formés par un système de deux droites imaginaires sont réelles. • C'est dans l'existence de pareilles relations, entre des lignes réelles et des lignes imaginaires, que l'emploi de ces dernières puise quelque utilité.

lo4 CHAPITRE V.

L'équation générale du second degré

ax^ -h 2 /ixj -+- 6 y* -^^gx -\- ^fr -f c = o ( * ), peut s'écrire

ax^ +^{hX'h g)x -]- 6j* H- ifj- -f- c = o, et en la résolvant par rapport à x, on trouve

ax= — {hx -h g)±\/ {/i' — ab)j^ -^ ii{hg -- af)x-h{g^—ac].

Pour que cette expression puisse se ramener à la (orme xzzzmy-h rij il faut que la quantité sous le radical soit un carré parfait, ce qui donne pour la condition cherchée

( A»- ab) (g^'- ac) = {hg^af)\

ou, en développant et divisant par a,

abc •+- ^fgll -- dp— &g'— 6*A'=:0.

Lorsque cette condition est remplie, les équations des deux droites s'obtiennent en prenant le radical successivement avec le signe -f- et avec le signe — .

EXERCICES

L Vérifier que réquation

représente deux droites , et trouver ces droites.

(*) H pourrait paraître plus naturel dVrrire cette «équation :

ma», pour conserver une notation uniforme dans tout le cours de cet Ouvrage, nous avons cru devoir adopter, dès le commencement, l'autre forme, dont nous aurons lieu, plus tard, d'apprécier la commodité et la symétrie. Nous verrons, en effet, que cette équation est liée intimement avec l'équation homogène à trois variables, à laquelle on a donné la forme symétrique :

dont elle se déduit en y faisant z = i. I^ coefficient a qui se trouve dans plusieurs termes rend plus simples et plus faciles à retenir un certain nombre de formules auxquelles conduit l'emploi de cette équation.

BCS fiQUATIOllS BKPKÉSENTANT DES LIGNES DIOITES. lo5

KÉPONSE. En résolvant cette équation par rapport k x, comme il vient d'être dit, on trouve, pour les deux droites,

jo—y — I = o, X — 4/-+-î* = o.

II. Vérifier que l'expression suivante représente deux droites

m. Quelles sont les lignes représentées par Péquation

x^^ xy -^ y^ — JT — r -t- I = o?

RÉPOXSB. Les droites imaginaires x -f- 0j -h ô' = o, x-^ ^y 4-0 = 0, 9 étant une des racines cubiques imaginaires de l'unité.