IV. Déterminer /i, de telle façon que l'équation

jr'-ha/ijy-h/'— 5-r— 7/-f- 6 = o

représente deux droites.

RÉPOXSB. Remplaçant les coefficients de l'équation générale par les valeurs qui leur correspondent dans l'équation donnéo , on trouve , pour déterminer /i, l'équation du second degré 12/i'— 35A -h tiS = o, dont

5 5 les racines sont 0 ^^ 7 *

* 77. La méthode exposée au numéro précédent, trèssimple lorsqu'il s'agit d'une équation du second degré, n'est pas applicable aux équations du degré supérieur : aussi donnerons-nous une autre solution du problème , en cbercbani dans quelles conditions on peut identifler une équation du second degré avec le produit des équations de deux droites

(a:r-i-|îj — i)(a':r -+-(3'/— i) = o.

Pour cela, il suffît d'effectuer le produit indiqué et d'égaler le coefficient de chaque terme à celui du terme correspondant de l'équation générale du deuxième degré, après avoir préalablement divisé cette dernière par c, de manière à rendre le terme absolu égal à l'unité. On obtient ainsi cinq équations : quatre d'entre elles servent à déterminer les valeurs des inconnues ce, a% p, ^', en fonction des coefficients de l'équation générale; la condition cherchée se trouve alors en exprimant que ces valeurs satisfont à la cinquième.

'lo6 CHAPITBE V.

Ces cinq équations sont

Des quatre premières, on déduit sans peine, pour déterminer a» a', (3, |3'y deux équations du deuxième degré qu'on peut aussi trouver en observant que les valeurs de a, a\ |3, [3' sont les réciproques des segments déterminés par les droites sur les axes. Ces segments s'obtiennent en faisant alternativement X =z o, jr= o û^ns l'équation générale, et sont ainsi donnés par

Si le lieu rencontre les axes aux points L, L', M, M', et s'il se compose de lignes droites, son équation peut aussi bien représenter les deux droites LM, L'M' que les deux droites LM', L'M, et doit par conséquent s'identifier avec l'une ou l'autre des équations

( aa: -h (3 j — I ) ( ax -+- ^'y — i ) = o, (a.r + p'/— i)[a'x-^^r — i) = o.

lit Si l'on effectue les multiplications, on voit que — doitavoir,

non-seulement la valeur a^' -h (3a' donnée plus haut, mais bien encore celle-ci a^ -+- a' (3'. On a ainsi, pour la somme de ces deux quantités,

a(3 -f- a' (3' -+- ap' -4- Pa' = ( a -h a' ) ( (3 -h (3' ) = ^,

et pour leur produit

(«(3 H- a'P')(a'(3 + «P' ) = aa' ( (3' + (3'') -+- (3(3' ( a» -h a'*)

a ^P — ibc b^g^—iac

Les valeurs de - sont donc données par l'équation du deuxième

DBS ÉQUATIONS REPltSENTANT BBS LIGKBS DIOITES. I07

degré

A' fg '>'h af'-\- bg^— abc

qui se ramène facilement à la condition donnée précédem* ment.

EXERCICE

Déterminer /*, de manière que x'-t- aZ/jj -+- j'— 5x— 7j-f- 6 = o représente deux droites (76, Ex. IV).

Les segments déterminés sur les axes sont donnés par les équations

x' — 5x -4- 6 = o, ^'— 7/-f-6=o, dont les racines sont

En formant les équations des droites joignant les points ainsi obtenus, 00 Toit que si Téqualion donnée représente des droites, elle doit être de l'une ou de Tautre des formes

fx-^-a^ — a) (ax-t-^— 6) =o, (x -h 3/— 3) (3x-f-^- — 6) = o. Effectuant les. multiplications, on trouve facilement les valeurs de /<.

* 78. Trouver le nombre des conditions auxquelles doivent satisfaire les coefjicienis de l'équation générale du n'*"* degré, pour qu'elle représente un système de n droites»

Nous procéderons, comme au numéro précédent, en comparant réqualion générale, dans laquelle nous aurons rendu le terme absolu égal à l'unité par une division préalable, avec le produit des équations des n droites

(ax-f- {3/— i)(«'x-h P'j— i) (oTx -^ P''/— i). . . - o.

Nous trouverons ainsi (N étant le nombre des termes de l'équation générale) N — i équations, puisque les termes absolus sont identiques : 2/1. d'entre elles suffisant à déterminer les 2/» Inconnues a, a% a'^,...,»! faudra N — 1—2 n conditions qui s'obtiendront en éliminant a, a', a!', . . . entre les N — i équations.

Io8 CHAPITRE V.

En écrivant l'équation générale sous la forme

-h Bj: -f- Cj

on voit immédiatement que le nombre des termes est égal à la somme des termes d'une progression arithmétique, et que

xT o- / V (/i H- i)(n -+-2)

formule d'où l'on déduit successivement

^»»»mi

DU' CERCLE* 109

DU CERaE.

79. Nous croyons utile, avant de discuter l'équation générale du second degré, d'étudier d'abord le cercle, pour faire voir, par ce cas assez simple, comment on peut déduire de l'équation d'une courbe toutes ses propriétés, sans en avoir fait une étude préalable par les procédés géométriques.

L'équation en coordonnées rectangulaires du cercle qui a pour centre le point (a, P) et pour rayon r est ( 17)

SI le centre esta l'origine des coordonnées, on a a— o, (3 = o, et l'équation devient

ar* -4- r' = r'.

Lorsqu'on prend pour axe des a: un diamètre, et pour axe des/ une perpendiculaire à l'extrémité de ce diamètre , a = r, ^1=0, l'équation devient

Ces deux derniers cas se rencontrent assez souvent dans les applications.

80. Dans l'équation du cercle en coordonnées rectangulaires, les coefficients de x^ et de y^ sont égaux, et le terme eo xjr manque.

L'équation générale

ax^-\- ^hxjr-^-by^'^ igx -h ^yy -+- c = o

ne peut donc représenter un cercle que si az=b, /i=o, et ^ alors on peut la ramener à la forme (^ — a)' 4- (y— P)'= i^f

MO CHAPITRE YI.

en suivant un procédé analogue à celui qui est usité dans la résolution de Téquation du deuxième degré. Après avoir, par une division préalable, ramené les coefficients de x^ et de 7' à Tunité, il suffit de faire passer dans le second membre le terme absolu, et de compléter les carrés en ajoutant aux deux membres la somme des carrés de la moitié des coefficients de X et de j^.

En appliquant ce procédé à l'équation

a ( a:' -*- j^' ) 4- *igx -h 2// -4-c = o, on trouve

Les coordonnées du centre sont —-2, — £., ei le rayon a

«ff, /, etl a a

pour valeur

Si ç(^ -h/' est plus petit que «<?, le rayon du cercle est imaginaire, et l'équation, étant équivalente à

ne peut être satisfaite par aucune valeur réelle de x et de y.

Lorsque gf' H-/* est égal à ac, le rayon est nul, et l'équation, étanl équivalente à

(x-ar + (7-(3r=:o,

ne peut être satisfaite par aucune coordonnée autre que celles du point (a, P). On dit alors que celte équation est celle du point (a, P); mais pour des raisons déjà énoncées (73), nous préférons la considérer comme l'équation d'tt/i cercle infiniment petit. Nous avons vu aussi (73) qu'on pouvait la regarder comme l'équation de deux droites imaginaires

j[x — a)dr(j^-- (3)^/^=0, passant par le point (a, P). De même l'équation x^ -hr* = o peut être regardée comme celle