DO C81CLE. III

d*un cercle infiniment petit ayant l'origine pour centre, ou bien comme celle des deux droites imaginaires x-±.y v^— T= o.

EXBRQCE. Rameoer à la forme (x — a)'+ {y— ^)' les équations

x*-+-j^* — aj: — 4j = ao, 3x'+3^' — 5x — 7vh- i = o. Rbpo?isb.

les coordoDDées du centre elle rayon sont, dans le premier cas, (i) ^) et 5; et dans le second, ( ^' i ) ®^ î* V^-

81. L'équation du cercle en coordonnées obliques est peu usitée; on l'obtient en exprimant (n"* 5) que la distance d'un point au centre est égale au rayon ; on trouve ainsi

( j: — a)'-h (j — P)»H- 2( j: — a) (j^ — (3) COSM = H.

En la comparant à l'équation générale, on voit qu'elle ne peut représenter un cercle que si a = é, A = a cos w, et alors, en égalant les coefficients des termes correspondants, on trouve, pour déterminer les coordonnées du centre et le rayon, les équations

«4-6 COS (k) == — s , ô -h « COS û) = — ^ »

a'-f- û*H-2aflcosû>-~ r*=-« ^ ^ a

Les deux premières équations qui servent à déterminer a et p ne renferment pas c, par suite : deux cercles sont con~ . eentriques lorsque leurs équations ne digèrent que par une constante.

Lorsque c= o, l'origine est sur la courbe, puisque son

équation est satisfaite par les coordonnées x = o, j=: o de

VoTîgine. Cette remarque est générale, et lorsqu'une équation

n'a pas de terme absolu^ la courbe qu'elle représente passe par

Foriginem

82. Trouver les coordonnées des points où une droite X cos a -h/sin a = p rencontre un cercle x^ -h x^ = ''*•

En égalant Tune à Taulre les valeurs de j^ tirées de chacune des'équations, on trouve, pour déterminer x,

p — X cos g sina ou, en réduisant,

a:'— 2/?.r cosa -4-/?'— r'sin^a =0;

d'oii

x=p cos a li: sin a ^ r^ — /;* ;

on trouverait de même

X = p cos a zp cos a y/ z*^ — p'»

Il est facile de s'assurer, en subsiiluant ces valeurs dans les équations données, que le signe — dans les valeurs de j, correspond au signe -+- dans la valeur de x, et vice versa.

Puisque nous sommes conduit à une équation du deuxième degré, c'est-à-dire ayant deux racines réelles ou imaginaires pour déterminera:, nous devons en conclure, pour faire correspondre le fait géométrique à l'expression algébrique, qu'une droite quelconque rencontre un cercle en deux points réels ou imaginaires.

Lorsque p est plus grand que r, c'est-à-dire lorsque la distance de la droite au centre est plus grande que le rayon, cette droite, considérée géométriquenient, ne rencontre pas le cercle, et cependant l'analyse donne des valeurs imaginaires définies pour les coordonnées des points d'intersection. Aussi ne dirons-nous pas que la droite ne rencontre pas le cercle, mais bien qu'elle le rencontre en deux points imaginaires, et cela parce que nous n'admettons pas que l'équation du deuxième degré n'a pas de racines, mais bien qu'elle a deux racines imaginaires. Par point imaginaire, nous n'entendons pas autre chose qu'un point ayant une de ses coordonnées imaginaires, ou toutes les deux. C'est là une pure conception analytique que nous ne chercherons pas à représenter géométriquement.

DU CBBGLB. Il3

pas plus que nous n'attachons de signiOcation arithmétique au\ valeurs des racines imaginaires d'une équation. La considération des points imaginaires est nécessaire pour conserver à nos raisonnements toute leur généralité; nous trouverons en effet bientôt plusieurs cas dans lesquels la droite joignant deux points imaginaires est réelle et jouit de toutes les propriétés géométriques de la droite qui lui correspond quand ces points sont réels.

83. Lorsque /^ = rja géométrie nous apprend que la droite est tangente au cercle, et l'analyse nous conduit au même résultaiy puisque les deux valeurs de x sont égales entre elles, ainsi que celles de/ : ce qui signifie que les points correspondant à ces valeurs coïncident. Nous ne considérerons donc pas la tangente comme n'ayant avec le cercle qu'un seul point commun, mais bien comme le rencontrant en deux points qui coïncident; attendu que Ton ne dit pas que l'équation du deuxième degré qui les détermine n'a qu'une seule racine, mais bien qu'elle a deux racines égales. Aussi définirons-nous en général la tangente à une courbe comme la droite joignant deux points infiniment voisins de la courbe.

On trouve de même une équation du deuxième degré, pour déterminer les points d'intersection de la droite A^ + Bj+ C avec le cercle donné par l'équation générale, et celte droite est tangente au cercle, lorsque cette équation du deuxième degré a ses racines égales.

EXERCICES

1. Trouver les coordonnées de l'intersection de j:' -+- ^ * = 65 ,

RÉPONSE. (7t 4) et (8, i).

n. Trouver Tintersection de (j: — r)'-h (/ — ac)'= a5c*, 4x-<- 3^= 35r.

RÉPONSE. La droite tangente au point (5c, 5c).

in. Dans quel cas x= mx-\-b est-il tangent à x^ -h /* = r' ?

RÉPONSE. Lorsque ^' = r' ( i -h m* ) .

I l4 CHAPITRE VI.

iV. Dans quel cas la droite / = mx menée par Torigine touche-t-elle ^/(jr'-f-2J:jC0Sw-+-/')-»- ag'x-h 2/}'-+- c = o?

Réponse. Les points d'intersection sont donnés par l'équation

fl ( I H- 2 /w cosw H- m^ ) .r' -h a [g -hfm )x-\-c= o,

qui a ses racines égales lorsque

(^-4-,///?)' — ac(i -h a/// cosw -h/;/') ;

on en déduit une équation du deuxième degré pour déterminer m. V. Trouver les tangentes menées par l'origine à