I. Trouver les points où les axes sont coupés par
jr' -4- ^* — 5x — yr-h 6 -- o.
RÉPONSE. -r = 3, JT = 2 ; / = 6, / — i .
n. Quelle esl Téquation du cercle Langent aux axes à une distance a de Torigine?
REPOUSSE. x^ -hj'—^ax — in y -h a' = o.
in. Trouver Téquation d'un cercle en prenant pour axes une tangente et une droite passant par le point de contact.
RÉPOTTSB. Dans ce cas, )., V et ii sont nuls; il est d'ailleurs facile de voir sur une Ggure que p' = arsinw.
L'équation cherchée est donc x^-hi j: vcosw -t- j* — a rr sino) = o.
85. Trouver Véquation de la tangente en un point {x',y ), d'un cercle donné.
Puisque la tangente à une courbe (83) peut être considérée comme une droite joignant deux points infiniment voisins de cette courbe, nous pourrons déduire son équation de celle de la corde passant par deux points quelconques (^',j'), (x'', y"), de la courbe, en y faisant x' = x"^ y =^y" .
Supposons d*abord que le cercle ait son centre à l'origine, son équation sera
L'équation de la droite passant par les deux points (^',j^''), x',/^), esl (29)
Si on y fait ^= a:", y=:y^ y le second membre de l'équation devient indéterminé; cela lient à ce que nous n'avons pas encore exprimé que les points (x\ /'), (x", y") se trouvent sur le cercle : en introduisant cette condition, on fait disparaître rindéternainalion , car on a
Il6 CHAPITRE VI.
el
par suite
x' -^ x" y'-\-y" L'équaiion de la rorde est alors
Tf'>
el en y faisani .r' = x", y*=z y^'\ on aura pour l'équaiion de la tangenle
qui devieni, loules réductions faites.
xx' -+- )*>•'=: r-.
On peut encore arriver à celle équation de la manière suivante (*) :
L'équation
représente la corde joignant les deux points (x\ r'), (^", >*') d'un cercle. En effet, elle représente une ligne droite, puisque les termes en x^ et y^ disparaissent après le développement : d'ailleurs, si on y fait x = x\ y=:y', le premier membre s'évanouit, et il en est de même du second, attendu que {x',y') est un point du cercle : cette droite passe donc par un point [x', y') du cercle; on verrait de même qu'elle passe par un autre point {x'^y"). En faisant x' =: x'\ y' := y" dans cette équation, on obtient pour celle de la tangente
qui se ramène, comme plus haut, à la forme
xx' H- vr'= f^'
(* ) Cette méthode est due à M. Burnsidc
DU CERCLE. I I 7
Si l'on veut rapporter les équations ci-dessus à une autre origine, de telle sorte que<zet [3 deviennent les coordonnées du centre, il suffit d'y remplacer (n° 8 ) j:,j:', j',^', respectivement par jr — a, x' — a,/ — 3,/'— ^ : on trouve ainsi, pour l'équation du cercle,
ei pour celle de la tangente,
équation qu'il est facile de se rappeler en raison de son analogie avec celle du cercle.
Corollaire. — La tangente jtjt' -4- ^r.y' — r^ est perpendicu-: laire au rayon x'j* — y^x = o aboutissant au point de contact (32).
86. La méthode que nous avons indiquée en dernier lieu peut s'appliquer à l'équation générale (*)
aj^^ -+■ a hxy -f- bj-^ -h 9. gx -h o.fy -+- c = o,
et l'équation
a[x^x'){x^x'')^tli{x^x'){r-^)')^b(r^y'){y-y") = ax^-+- 2hxy*^- by^-h'^gx-h ^fx-^ c
représente la corde passant par les deux points (x', j' ), ( a", j" ) de la courbe, puisqu'elle est du premier degré, et qu'elle est satisfaite par les coordonnées x\ y\ x", y^ de ces deux points. En y faisant x" = jr', y" z=zy\ on trouve pour l'équation de
(*) Lorsque cette équation représente un cercle, il est bien entendu que ^=a, A = acos6i; mais, puisque la méthode est (jénérnle et indépendante des valeurs particulières de b ou de A, nous aimons mieux obtenir immédiatement les formules générales dont nous aurons besoin plus tard dans la discussion de l'équation générale du deuxième degré.
il8 CHAPITRE Yl.
la langente
«(j:— x')=-4- 2 fi{^ — x'){x^x') -4-6(7 — /')' z= ax- -h ^hxy*-\- by^ + 2 gx -f- ify -h c,
ou
lax'x H- 2 h[x' y -4- ^•'x ) -h 2 6;r'/ H- * gx -\- ify -+- c ^= a r'' -h 2 A x'/'' -h /;j^'* ;
si l'on ajoute de pari el d'autre 2 ^x' -h a/j' H- c, en observant que {x*yy*) est un point de la courbe, on trouve
ax' X -{- h[ x'y -f- y'x ) -f- h y' y -^ g{x -^ x' )
On se rappellera facilement cette équation de la tangente, si Ton observe qu'elle se déduit de celle de la courbe en v remplaçant respectivement x^ aiy^ par x' x^ y'y; ^ xy, 2.x, 2 >•
par x'y -hy' x, x' -f- x, y^ "+-7-
EXERCICES
I. Trouver les équations des tangentes aux courbes xr = c^ et y^ = px. RÉPONSE, x'y -h y'x = 2c*, 2 )j' =jj [x -+- .r').
II. Trouver la tangente au point (5, 4) de (.r — 2)'-f ( r— 3)' = 10.
RÉPONSE. 3j:-Kr = i9.
II. Que représente l'équation (y-j-yjx h- (j) '-+-7")/= /•'-h.r'jr"-h ) ') " par rapport au cercle x' -h,)' = r'?
RÉPONSE. La corde joignant (.r', y')^ (x". y").
