IV. Trouver la condition pour que Xx -+- R v-h C — o touche
RÉPONSE. — , = /•, puisque la distance de (a, S) à celte ligne
doit être égale au rayon. *
87. Mener une tangente an cercle o:^ 4- /' = /•' par un point {x\y').
DU GBRCLE. 1 19
Soient Jc^yV^ les coordonnées du poiiU de contact; puisque, par hypothèse, les coordonnées x'.y satisfont à l'équation de la tangente en ix",)-**), nous aurons la condition
et comme {x^,x'' ) se trouve sur le cercle, nous aurons aussi
Ces deux équations suflisent pour déterminer (^'^,7") : et en les résolvant, on trouve
Par un point quelconque, on peut donc mener deux tangentes à un cercle : ces tangentes sont réelles si x'^ -+-j'^ > rS c'està-dire quand le point est en dehors du cercle ; elles sont imaginaires si x'' 4- >-'^<r% c'est-à-dire lorsque le point est à l'intérieur du cercle; et enfin elles coïncident lorsque j:'* -4- j"= /**, autrement dit quand le point est sur le cercle.
88. Puisque les coordonnées des points de contact s'ob • tiennent en rqîsolvant par rapport à x et r les deux équations
xx* -t- yj^ =: r*, X* -h r^ = /■',
nous pouvohs dire que, géométriquement, ces points se trouvent à l'intersection du cercle j:»-f-j*=r*, et de la droite xx^'^jy'=r\ Cette droite passe par les points de contact des tangentes menées par (x\ y), comme on peut du reste le vérifier, en formant l'équation de la droite joignant les deux points dont nous avons trouvé les coordonnées au numéro précédent (*).
[*) En général, l'cquation de la tangente à une courbe exprime une relation entre les coordonnées d'un point quelconque de la tangente et celles du point de contact. Si noua voulons, étant donné un point de la tangente, trouver le point de cootact, nous n'avons qu*à considérer comme coordonnées courantes celles de ce dernier point (en supprimant l'accent qui s'y trouve dans l'équation de la tangente, et accentuant au contraire les coordonnées du point donné),
Nous voyons donc que, quelles que soîeni les tangentes
menées par [x\ y ), réelles ou imaginaires, la droite qui joint
leurs points de contact sera la droite réeWe xx' -^ yy' = r\ que
nous appellerons la polaire de {x\y' ) par rapport au cercle.
Cette polaire est évidemment perpendiculaire à la droiie
a:' j — r'-^ = o joignant le point (x', j') au centre, et passe à
r^ une distance . , .- de ce centre (23). On peut donc
construire la polaire d'un point P, en joignant ce point au centre C, prenant sur PC un point M tel que CM.CP=: r», et élevant à PC une perpendiculaire en M.
L'équation de la polaire est de même forme que celle de la tangente; elle n'en diffère que parce que le point [x'^y), dont elle renferme les coordonnées, n'est pas nécessairement sur le cercle; dans le cas où ce point s'y trouverait, elle serait alors identique à l'équation de la tangente : la polaire d'un point du cercle est donc la tangente menée au cercle en ce point.
Le point (a:', x' ) s'appelle le pôfe de la droite
xx'-h y*x' =^ r'.
89. Trouver V équation de la polaire de ( x', y*' ) par rapport à la courbe
ax* -^^ nlixy -\' hy-^ -+- 2 gx -f- ify 4- c = o. Nous avons vu (86) que l'équation de la tangente est
ax' X -\- h(x' y -h y' x) -^ byy-\- g{x'-hx)-hf{y' -+- >•)•+- cr=o,
et elle exprime une relation entre les coordonnées x,y d'un point de la tangente et les coordonnées x\ j' du point de
et noug aurons Téquation d'un Heu dont l'intersection, avec la courbe donnée, nous fournira les points de contact. Si, par exemple, l'équation jra-'*-Krr'*= r* représente la tangente à une courbe au point (x',^'}, les points de contact des tangentes menées par un point (-i'', ^') se trouveront sur la courbe x'or* -H r V' = r*. Ce n'est que dans le cas des courbes du deuxième degré que l'équation qui détermine les points de contact est de même forme que celle de la tangente.
DU GBICLB. 121
contact. Pour montrer que les coordonnées du premier point sont connues, nous leur donnerons un accent, et nous supprimerons l'accent des coordonnées du dernier pour indiquer que ce sont celles qu'il faut trouver, ce qui ne change rien à l'équaiion, puisqu'elle est symétrique par rapport à x, /, x\y' . Cetie équation, qui, lorsque (x\y' ) est sur la courbe, est celle ' de la tangente en ce point, représente, quand le point {x',x') n'est plus sur la courbe, la droite sur laquelle doivent se trouver les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires menées par {x'^y') : elle est alors l'équation de la polaire. Si l'on y remplace x^ jr par x'^ y\ on obtient le même résultat qu*en substituant a^ y y' à or, y dans l'équation de la courbe : ce résultat ne peut donc être nul que si [x' ,y') se trouve sur la courbe. Donc la polaire d'un point ne passe parce point que s'il est situé sur la courbe, à laquelle elle est alors tangente.
Corollaire. — La polaire de V origine est gx -4-^ -i- c — o.
EXERCICES
I. Trouver la polaire de ( 4t 4 ) par rapport à ( j: — i)' -+- ( j — a )' = 1 3.
RÉPONSE. 3 J: -h ^ }- = -20.
II. Trouver la polaire de (4, 5) par rapport à ar'-hj' — 3 x — 4j^ = 8. Rbpo.xsb. 5x h- Gj' = 49-
ni. Trouver le pôle de kx -\- B/ -h C = o par rapport à x'-h r' = /'. RépONSB. Le point se troave facilement en comparant l'équation donnée avec xjc^-^ yy' = r', ce qui donne I p-» p^ )•
IV. Trouver le pôle de 3jr -t- 4/ = 7 par rapport à x' -+-^ ' — 14. Rbfo?ise. (6, 8).
V. Trouver le pôle de a x -h 3 j = 6 par raport à (x — 1 )' -1- (/ — '2)'— 1 2. RipoNSB. (—11, — 16).
90. Trouver la longueur de la tangente menée par un point au cercle (x — a)* + (/ — P)' — r^ = o.
Le carré de la dislance d'un point {j:,r) au centre est
il est égal au carré de la longueur cherchée augmenté du carré du rayon. On trouvera donc le carré de la longueur de la tangente en substituant, dans le premier membre de Téquation
du cercle
les coordonnées du point par où elle est menée aux coordonnées courantes.
Puisque l'équation générale, en coordonnées rectangulaires,
peut, en étanl divisée par a (80), se ramener à la forme
on aura le carré de la tangente menée par un point au cercle dont réqualion est donnée sous la l'orme la plus générale, en divisant celte équaiion par a et en y remplaçant les coordonnées courantes par celles du point.
Le carré de la tangente menée par l'origine s'obtient en faisant dans l'expression précédenie j: = o, j^- = o; il est donc égal au terme constant c divisé par le coefficient a de x^.
Le même raisonnement s'appliquerait au cas des coordonnées obliques.
*91. Trouver le rapport dans lequel la ligne joignant deux points (x', j'), {x", y" ) est coupée par un cercle donné.
Nous suivrons la marche indiquée au n" 4.2. Les coordonnées d'un point quelconque de la droite peuvent (n°7) être mises sous la forme
lx"-^mx' lr"-^nir' l-\- m .^ t '\- m
En substituant ces valeurs dans l'équation du cercle
DU CBBCLB. 1^3
on trouve, après réducUon faite, pour délcrminer le rapporl —t réquation du deuxième degré
la connaissance du rapport / : m entraîne celle des coordonnées des points où la droite rencontre le cercle. La symétrie de cette équation rend quelquefois cette méthode plus commode que celle indiquée au n"" 82.
Lorsque le point (ar",jr^) se trouve sur la polaire de (^',7'), on a (88)
x'x*' -hjr'}'^ — r' — o,
réquation précédente se décompose alors en deux facteurs /-+- jmm, / — /xm, et la droite passant par (x',j' jet (x*', j")cst coupée intérieurement et extérieurement daps le même rapport, d'où ce théorème connu : une droite menée par un point est divisée harmonique ment par ce points le cercle et la polaire du point.
*92. Trouver V équation des tangentes menées par un point à un cercle donné.
Nous avons déjà (87) obtenu les coordonnées des points de contact; en substituant leurs valeurs dans réquation x3f-\-jrjr''^:^r^, nous trouverons pour l'équation d'une tangente
et pour celle de l'autre
r[xx' — yy' — J^'*— /'') — {^y' — yx') ^x'^-^y'^— r'= o.
En multipliant ces équations Tune par l'autre, nous aurons l'équation des tangentes qui ne contient pas de radical. Mais les résultats obtenus au numéro précédent nous permettent d'arriver plus simplement au résultat; en effet, l'équation qui
déiermine le rapport — aura des racines égales lorsque la droite
passant par (j;', j'), (x'\y") sera tangente au cercle : si donc [x^y jr") est l'un ou l'autre des points de contact des tangentes menées par(a:', j'}, ses coordonnées devront satisfaire à la relation
qui est ainsi Féquation des tangentes menées par (x\ y'), et il n'est pas difficile de prouver qu'elle est identique à celle qu'on obtient par la première méthode.
Les méthodes indiquées dans ce numéro et le précédent s'appliquent également à l'équation générale, et l'on a alors, pour déterminer le rapport /:m, l'équation du deuxième degré
/' (rt:r"' -*- 2 A^^r" -4- 6r "' -h 2 gx'' + 2//" c ) -hiilm [ax''x"-h h [xf y" -^ y' x" )
^- hy'y' ^ g[x' ^ x") ^f{y' + j") H- r;] -f- m'(aj:''-f- 7,hx' y' -\- by'*-h ngx' -^ '^fy'-^ c) = o,
et de celte équation résulte, comme ci-dessus, que, lorsque (^"> x") se trouve sur la polaire de (.r , j'). la droite joignant ces points est divisée harmoniquement, et que l'équation des tangentes menées par (x\y') est
{ax'^-\- 7.lix'y' -\- by'^-^ igx' -^ ^fx' -^ ^)
X [ax^-v- ihxy-\- by^-h- ^gx + ^fy-^ c)
= [ax'x -+- h{xy -^y'x )^byy -^ g[x '\- x') -\-f[y -f-/} -+- c]\
93. Trouver V équation du cercle passant par trois points donnés.
Il suffit de substituer successivement, dans l'équation générale
^' + 7*-+- ^g^ -^ '^fy-^ c= o,
les coordonnées de chacun des trois points, pour trouver trois équations qui déterminent les inconnues^,/, c. On peut
DU cncLi. i^^.
aussi obtenir réquaiîon cherchée en déterminant les coordonnées du centre et le rayon, comme au n"* 5» Ex. V.
EXERCICES
I. Trouver Téquation du cercle passant par les points (2, 3), (4, 5),
RÉPONSE, ^x- y)V (r- §)' = —• i^oir n» 5, Ex. V.
II. Trouver l'équation du cercle passant par Torigine, (u, 3 ) et (3, 4)- Ooa
d'où Ion tire
m. Prenant les mêmes axes qu'au n" 48, Ex. I, trouver l'équation du cercle passant par Torigine et les milieux des côlés CA et CB, ot montrer qu'il passe aussi par le milieu de la base AB.
Réponse, a/? (x* -+" J^') — p[s ~- s*).v — [fP -h s.\']y = o.
*9i. Exprimer l'équation du cercle passant par les trois points [a^ , y') , [x" y y" ), [x^^y"), en fonction des coordonnâmes de ces points.
On n*a qu'à substituer dans
.T' -+- r* ^ ^g^ -1" '^fx -h c = o, les valeurs de g^f c, déduites des équations
(ar'' + j'») -K 2 gx' -h ^fy -h c — o, ( jr''»4-^"*) -I- 2 gx" + 2//' -f- c — o,
(^«-f-jr"') + 2 gx"^-^ ^fxl-^ ^ - - o. On trouve ainsi pour l'équation cherchée
-(*"4-r")[^(r-r)+*'(r-r')+^(r"-r)] +(x"+^'»)[*-(/-r')+jr(^-'-/')+x'tr-r )] -(**"+r")[^(r'-r')+^Cr'-r)-i-^"(r-r')] = *''
lSt6 CHAPITRE YI.
comme on peui le voir en multiplianl respectivement chacune des quatre équations primitives par les facteurs de (x* -f-j'),. . ., dans les dernières équations, et ajoutant ensemble les résulats obtenus; car alors les quantités g-,/, c, s'évanouissent.
Si Ton veut trouver la condition pour que quatre points soient sur un même cercle, il suffit de remplacer, dans la dernière équation, a?, j, par les coordonnées j:4, J4, du quatrième point. On arrive ainsi à une condition qu'on peut interpréter géométriquement de la manière suivante : si A, B, C et ]) sont quatre points situés sur un même cercle, 0 étant un cinquième point quelconque, on aura
Ôk . BCD -hÔc' . ABD = Ob' . ACD -+- Ôd' . ABC, BCD représentant Taire du triangle BCD.. . .
