Équation polaire du cercle

On peut trouver Téquation polaire du cercle, en remplaçant X ei X par p cosO, psin0(n" 12), dans Tune ou l'auiro des équations connues

a ( a:* -f- j' ) 4- ^gx -+- ify -i- c rt= o, [x — a)'-h (j — P)'~ '*'»'

mais on peut aussi l'obtenir directement en partant de la définition même du cercle.

Soient en effet 0 le pôle [Jig. 4^), C'ie centre du cercle, OC Taxe fixe,

Fig. /,o.

iT " K c

r le rayon et d la distance OC. Menons un rayon vecteur OP, joignons PC, on a

PC =0P 4- OC -aOP.OCcosPOC, ou, en faisant OP = p, angle POC = 0;

r» = p*H-rf'— aprfeosS;

DU CBBCLE. 127

parsuiie, l'équation polaire du cercle est

p' — 2prfcos6 + rf' — r* = o.

Lorsque le pôle esl sur le cercle, on a r'r=: rf% et réquaiion se réduit à la forme la plus simple

p=: arcosô.

On aurait pu arriver immédiatement à ce résultat, en observant que Tangle inscrit dans une demi- circonférence esl droit, ou bien en substituant 2i x ei y leurs valeurs en roordonnées polaires, dans Téquation (79)

Lorsque Taxe fixe ne coïncide pas avec OC, mats fait avec celle droite un angle a, on trouve (44) pour Téquation du

cercle

P* — 2prfcos(5 — a) 4- d'— r^=o.

96. Dans le Chapiire précédent, nous avons fait voir comment on pouvait former les équations du cercle et celles des lignes les plus remarquables qui s'y rapportent : dans celui-ci, nous chercherons à faire ressortir par des exemples la signification de ces équations, en les appliquant à la démonstration de quelques-unes des propriétés les plus importantes du cercle. Les exercices que nous avons donnés au n** 49 peuvent nous servir ici d'introduction ; après avoir reconnu, parmi ces lieux géométriques, ceux qui sont des cercles, on en déterminera la position soit en cherchant leurs centres et leurs rayons (80), soit en déterminant les points où ils rencontrent les axes (84).

Les exercices suivants se rapportent au même genre de question.

EXERCICES

L Dans un triangle ABC, on donne la base AB et l'angle ACB qui lui est opposé : trouver le lieu du sommet C.

Soient y, x'\ ^"i y l^s coordonnées des extrémités de la base, et C Tangle donné. L'équation d'un des côtés étant

celle de Taiitre côté, qui fait avec lui un angle C, sera (33)

(n-wtangC)(r-7") = (m - tangC) (x- a-");

éliminant //i, on trouve pour l'équation du lieu

tangC[(r-r')(r-:^'') + (.r-x')(.r-x')] H- •r(r' -X") - v(x' - .r") -h- x'j ' - v'x" = o.

Si l'angle C est droit, les équations des côtés seront

r — r'= ni(x^x'), /yi(^- — j'')4-(x — x") = o,

THÊOBtMBS ET PROBLÈMES SIR LE CERCLE. 1 29

n celle du lieu

n. On donne la base d'un triangle et Fangle qui lui est opposé : trouver le lieu des intersections des hauteurs du triangle. Conservons les mêmes notations; les équations des hauteurs sont

(/w — langC)(j— ^')-f-(H-/wlangC) (.'- j^') -~-- o,

ei en éliminant ///, on trouve pour l'équation du lieu :

tangC[(j-7') (r- j') -^ [x - .v'){.r - .r" )]

Cette équation, ne différant de celle de TExorcice précédent que par le ïigne de tangC, est celle que nous trouverions dans ce dernier cas si, la base restant la même, nous cherchions le lieu du sommet correspondant à un angle ÂCB supplémentaire du premier.

m. On donne un certain nombre de points : trouver le lieu du point tel, que la somme de m' fois le carré de sa distance r' au premier point, m' fois le carré de sa distance r" au deuxième point , etc.. soit égaie à One constante; autrement dit, en adoptant la notation du n** oO, Ex. IV, que l(//#r') soit une constante C.

Le carré de la dislance d'un point (j:*, r) au point (.r', y') est

Multipliant ce carré par m\ et ajoutant ce produit aux produits correspondants obtenus pour la distance de (jPjX) ^^^ autres points ('7", j"), ;x",^^),..., nous trouverons pour l'équation du lieu

l(w)x'-»-2(/ii)^' — a2(/«x')j:— 2S(w;-')/-»-S(/;/.t;'-)-+- l(nn") = C.

Ce lieu est un cercle dont le centre a pour coordonnées

l(f/fx') H/ny')

et se confond avec le point que nous avons appelé centre dos distances proporlionneNes (30, Ex. IV). iVous aurons, pour déterminer la valeur du rayon R (Je ce cercle, la

^^^^ R»Z(i/i) = i(wr') - 2(wp'),

l3o CHAPITRE VII.

dans laquelle p représente la distance d'un point quelconque du système au centre ; par suite, ^(mp*) est la somme de /// fois le carré de la distance au premier point, etc.

IV. Par un point 0, on mène successivement, à chacun des côtés a^ b, c d'un triangle, des parallèles qui coupent les autres côtés en B, C ; C\ A'; X\ B" : trouver le lieu du point 0 tel, que la somme des rectangles

BO.OC -h C'O.OA' -4- A'O.OB"

soit constante et égale à rn^.

Si l'on prend deux des côtés a et b du triangle pour axes, l'équation du lieu est

ou. en désignant par C l'angle compris entre a et b,

j:' -+-^' -H '1 :r/cosC — or — bj' -h w* = o.

Ce lieu est un cercle concentrique au cercle circonscrit : les coordonnées a et ^ du centre sont données par les équations

2(a H- Scosc) = ^, a(p -»- acosc) = />,

qui permettent de trouver le lieu des centres du cercle circonscrit, lorsque deux des côtés du triangle étant donnés de position ont leurs longueurs liées par une relation donnée.

V. La droite qui joint le point 0 à un point fixe A détermine, sur Taxe des T, le même segment que détermine sur l'axe des y la perpendiculaire menée par le point 0 à la droite OA : trouver le lieu du point 0.

Vl.^On joint un point 0 aux sommets A, B, C d'un triangle; puis oa mène par les sommets A, B, C des perpendiculaires aux droites OA, OB, OC : trouver le lieu du point 0 tel, que ces perpendiculaires .se coupent en un seul point.

97. Les exercices suivants se rapportent au problème du n** 82 : trouver les coordonnées des points où une droite rencontre un cercle.

EXERCICES

I. Trouver le lieu des points milieux des cordes menées dans un cercle parallèlement à une droite donnée.

THÉORfcMBS ET PROBLEMES SUR LB CERCLE. l3f

SoUxcosz H- rsina — ^ = o l'équation d'une de ces cordes : a est dooDé ]-ar hypothèse , et /? est indéterminé. Les abscisses des points où cette droite rencontre le cercle se déduisent de Téquation (n"" 82)

X* — 2/?jrC0Sa -Hyt;* — r'sin*a = G.

Si les racines de cette équation sont x' et x", l'abscisse du milieu de la

corde sera ( n** 7 ) - ( x' -h x") ou, d'après la théorie des équations, /^cos x.

Ou trouverait de même v = p sina pour l'ordonnée du milieu de la corde. L équation du lieu est donc r = x tanga : c'est celle de la perpendiculaire abaissée du centre sur la direction donnée.

U. Trouver la condition pour que le segment déterminé par le cercle x'-hr^= r* sur la droite xcosa -f- jsina — /; = o soit vu du point fj'./') sous lin angle droit.

Nous avons trouvé (96, Ex. II), pi.ur que les droites joignant [od'^y*)^ (x", r*) à {x\y) soient perpendiculaires, la condition

Soient (x*, y')^ (x", y'") les points où la droite rencontre le cercle, on aura, d après l'Exercice précédent,

x" -4- x*' = 2/? cosa, x'x'" = />* — r' sin'a, y' -^ y*" ~ 2/? sina, r''^'" = //— /-"cos'a,

eten pcrtant ces valeurs dans réqualion précédente, on trouvera, pour la ODndition cherchée,

x*^-^ y*"^ — a/>x'cosa — a/^^'sina -h a/i'— /•'= o.

in. Trouver le lieu dés points milieux des cordes vues sous un angh* droit d un point donné [x\y).

Si X et^' sont les coordonnées du point milieu, nous avons (Ex. I)

p C0S2 = X, /7sina — y^ // = x' -f- r\ Sul)gtituant ces valeurs dans la condition trouvée plus haut, il vient

IV. On donne une droite MN et un cercle : trouver un point 0 tel, qu'en menant par ce point une corde Afi, le produit des distances ÂM, BN des extrémités À, B de la corde à MN soit constant.

l32 GIIAPITRB Vil.

Prenons MN pour axe des x et pour axe des j une perpendiculaire passant par le centre du cercle, Téqualion du cercle sera

Si jc\ y sont les coordonnées du point cherché 0, Téquation d'une corde quelconque sera j^ — /' = w (x — x'); en éliminant x entre cotte équa- • lion et celle du cercle^ nous trouverons, pour déterminer >-, une équation du deuxième degré dont le produit des racines,