I -h iir
. devra être constant, c'est- à-diro indépendant de m ; ce qui ne peut arriver que si le numérateur est divisible par i -h ///*, et alore x' — . o, j" = p^— /•'.
V. Trouver la condition pour que le segment déterminé sur la corde -r cos a 4- y sin a — p = o par le cercle
soit vu de Torigine sous un angle droit.
L'équation des deux droites joignant Torigine aux extrémités de la corde peut s'obtenir en multipliant les termes du deuxième degré de l'équation du cercle par />', ceux du premier degré par^ (x cosa -»- rsina), et le terme constant par (xcosa + jsina )' ; en eflet, l'équation à laquelle on arrive est homogène, et elle est satisfaite par les points du cercle qui se trouvent sur la corde xcosa 4- jsina — /; = o. Cetle équation, développée et ordonnée, devient
(// 4- a gpco^x H- c cos* a) x'
-H 'À (g^sina-4-/c05a «4- f sinacosa) xj-f- (/^'-h ifp^xxï a -h c sin' '')y'= o,
et les deux droites sont perpendiculaires lorsque (74)
2/>'-H 2/j(^cosa -h/sinx) -h c = o.
VI. Trouver le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la corde vue de l'origine sous un angle droit.
Les coordonnées polaires du lieu sont /^ et a dans l'équation que nous venons de trouver : l'équation de ce lieu est donc
1 (J^' H- j') -»- a^-c H- iLfy -H c — o,
et représente le même cercle que celle de l'Exercice lU.
THfiOEftiIBS ET PEOBLftlIBS SUR LB CEBGLB. l33
Vn. Par un point fixe P d'un diamètre AB, on mène une corde MN, les droites AM, AN déterminent sur la tangente au cercle en B des segments dont le rectangle est constant.
Prenons pour axes le diamètre AB et la tangente en A, Téquation du cercle sera ^-^ j^'— arx = o; soient x', o les coordonnées du point P, réquation de HN sera j= /m (x — j:') ; en formant alors, comme à T Exercice V, réquation des droites AM, AN et en y faisant j: = ^r, nous trouve-
roDS les valeurs des segments dont le produit ir*- — -, — est indépendant de m.
98. Nous allons déduire des équations du n"* 88 un certain nombre de propriétés des pôles et polaires.
Lorsqu'un point A, (^'»^')* f^t situé sur la polaire de B, le point B, (x", x")* *^ trouve sur la polaire de A.
La condition pour que {x\x') appartienne à la polaire de {x',jr") est x'x" '^yy= r', et c'est aussi celle pour que le point (^,j") se trouve sur la polaire de {jc\jr'). Le nrtème raisonnement peut s'appliquer à l'équation générale (89), et on voit facilement qu'en remplaçant, dans l'équation de la polaire de {x', y'], les coordonnées courantes par x'^ et^", on obtient le même résultat qu'en substituant dans l'équation de la polaire de (ar*', j"), x' etjr' aux coordonnées courantes. On énonce quelquefois ce théorème ainsi qu'il suit : Lorsque la polaire de B passe par un point fixe A, le point B glisse sur la polaire du pofnt A.
Ce théorème et les suivants sont vrais pour toutes les courbes du deuxième degré. '
99. Étant donnés un cercle et un triangle ABC, si Ton prend par rapport au cercle les polaires de A, B, C, on forme un nouveau triangle A'B'C, qu'on appelle triangle polaire^ et dans lequel A', B' et C sont respectivement les pôles de BC, CA et AB. Dans le cas particulier où les polaires de A, B, C sont respectivement BC, CA, AB, le second triangle se confond avec le premier, auquel on donne alors le nom de triangle autopolaire ( * ).
(*) On appelle quelquefois ce triangle, triangie conjugué: c'est à la fois pour ériter une confosion et pour conserver Theureuse symétrie de l'expression anglaise [conjugale^ iclf'conjugate^ que nous l'avons appelé triangle autopolaire.
l34 CHAPITRE VII.
Les droites AA', BB', CC, qui joignent les sommets d'un triangle à ceux de son triangle polaire ^ se coupent en un même point,
Soienl [x\y'), (x\ y''), (a:^ y'") les sommets A, B, C du premier triangle; les sommets du second seront donnés par ïes intersections successives des polaires de ces points. L*équation de la droite AA' joignant [x\y') à l'inierseciion de jTjr^-hj'j"— r2=o, et^x^-f-//'"— r'=r o, sera (40)
[x'x^-^y'y'"^r^){xx*' -{-yy"-- r^)
— {x'x''-^y'y"-'r^)(xx'^-\-yy"'—r^) = o.
On trouverait de même, pour les équations de BB' et CC,
(x' x" -^ y' y'' — r^){xx'"'^yy''^ r») • — ( x" x" + y" y'" ^ r' ) [xx' -^yy' — r') = o, ( A'V-f- yy— r'){xx''hyy'—r')
— (x'x'^-hy^y^— r*){xx*'-{-yy''— r^) = o,
et Ton voit que ces trois droites (40) se coupent en un même point.
Nous aurions pu démontrer ce théorème en partant de Féquation générale. Désignons, pour abréger, par P, z= o la polaire axx'-^ h{xy'-^yx']-h...z=zo (89) de {x\y'), par P,, P, cellesde (jt'',^''), [x"',y'"); représentons par le symbole (i .2) le résultat [ax'x''-^ h [x"y'-\'y''x')'h. . .] de la substitution de x" eiy" aux coordonnées courantes dans l'équation de la polaire de {x', y').
Les équations des droites AA', BB', CC, seront
(i.2)P, = (:2.3)P„ (2.3)P.=:fi.3)P,;
et Ton voit qu'elles se coupent en un seul point. Il s'ensuit (60, Ex. III) que les intersections des côtés correspondants du triangle et de son triangle polaire se trouvent en ligne droite.
THËORftMBS ET PROBLÈMES SUR LE CERCLE. 1 35
Le théorème suivant n'est qu'un cas particulier de celui que nous venons de démontrer :
Si un cercle est inscrit dans un triangle , et qu'on joigne chaque sommet du triangle au point de contact du côté op^ posé, on obtiendra trois droites qui se couperont en un même point,
100. On joint deux à deux, directement et transversalement, les points où deux droites fixes issues d'un point 0 rencontrent un cercle : si P est Vintersection des droites directes, et Q celle des droites transverses ^ la droite PQ est la polaire du point O.
Prenons les deux droiles fixes pour axes; et soient \ >/, u. et ^', les segments que détermine le cercle sur leurs directions. Les équations des lignes directes seront alors
A [JL A [JL
et celles des droites transverses
K \L A lÂ
L'équation de la ligne PQ sera
r'^V-*-'--+-^-a=:0, A / jLf. |!X
puisque (40) elle passe par l'intersection Pdes droiles directes
et celle Q des transversales
A IJL A [J.
D'ailleurs l'équation du cercle étant
ax^'^9.hxj' -h bjr^ -h igx -*- î/j -h <? = o, l et V seront les racines de ax^-\- otgx -^^ c=zo (84), et Ton
l36 CHAPITRE VII.
aura
on trouverait de même
L'équation de PQ devient alors
cette droite est par suite la polaire de l'origine 0 (89). Si le point 0 est fixe et les deux droites mobiles, le lieu des points P et Q sera la polaire du point 0.
101. On donne deux points quelconques A et B, et leurs polaires par rapport à un cercle dont le centre est 0 ; AP et BQ étant les distances des points A et B aux polaires de B et dé A ; démontrer que Von a la relation
