AP~BO
102. 11 est souvent commode, pour étudier certaines questions relatives au cercle, d'en représenter les points, non plus par deux coordonnées, mais au moyen d'une seule variable indépendante. Si nous désignons par Q' l'angle que le rayon aboutissant au point [x' , y*'] fait avec l'axe des Xy nous
THÈOAÈIIBS ET PROBLfeHBS SUR LE CERCLE. l37
aurons (le centre du cercle étant pris pour origine),
x'= rcosô', j= rsinô',
et nous pourrons, au mojen de ces valeurs, simplifier ceruînes de nos formules.
L'équation de la tangente en un point (jr',r') prend alors
la forme
X cos ô'-h ys\x\6' =. r,
et celle de la corde joignant les points (x', /'), {x^fy^"), qui est (86)
x{x' -^x") -♦-7(r'-4-j") = /-'4- x' x" -i-xy", devient
xcos-(6'-j-6'')-4-rsin-(e'+0"J=:rcos-(^'— 0"),
B' et B" étant les angles que font avec Taxe des x les rayons menés aux extrémités de la corde.
Cette équation aurait pu se déduire directement del'équatien générale de la ligne droite (23) jrcosaH-^sina = /y, en observant que l'angle compris entre l'axe des x et la perpendiculaire à la corde est égal à la demi-somme des angles formés avec le même axe, par les rayons menés aux extrémités de la corde, et que la longueur de cette perpendiculaire est égale à
/•cos-(0'-6").
EXERaCES.
I. Trouver les coordonnées de rintersection de deux tangentes au cercle.
REPONSE. Les tangentes étant
X cosO' -h r sin 6' — r, x cosO''-^- y sin 0* = /•, Jes coordonnées de leur intersection seront
cos-(ô'-hô') sini(0'H-r/')
cos-re'-ô") sin-tO'-O")
l38 CHAPITBB VII.
n. Trouver le lieu de TintersecUon des tangentes menées aux extrémités d'une corde de longueur constante.
RÉPONSE. En effecluant la substitution indiquée plus haut dans
on trouve
cos(6i'— B") = const., ou 0'— 0*= const.
Lorsqu'on donne la longueur de la corde irs\n$, on a ô'— 0"= a^, et les coordonnées trouvées à l'Exercice précédent satisfont à la relation
(.r'-hj')cos'^ = r\
III. Quel est le lieu du point où une corde de longueur constanle est coupée dans un rapport donné?
. RÉPONSE. En écrivant (n° 7) les valeurs des coordonnées de ce point, on voit qu'elles satisfont à la' relation
jc' ■+- r' = const.
i03. Nous avons vu que la tangente au cercle x^-hx'^=^ r^ a pour équation
xcosQ -^jsin9 = r;
on verrait de même que celle de la tangente au cercle
est
{x — x)cosO -\- (y— (3)sin0=r r.
Réciproquement, si l'équation d'une droite renferme une indéterminée 0 sous la forme
(^ — a)cos0-4- (j— P)sine = r, celte droite est tangente au cercle [x — ay-hix— ^y= r\
EXERCICES
I. Si une corde de longueur constante est inscrite dans un cercle, elle est constamment tangente à un autre cercle.
TBÉOBfiMBS ET PBOBLftilES SUR LE CEtCLE. l3g
En effet, dans Téquation de celte corde
xcosi{e'-t-ô')H-7sini(ô'-+-Ô*) = rcos'(0'-0'),
l'angle Ô' -- &•= a^ est connu, et 6' h- •* est indéterminé : la rorde louche donc toujours le cercle j:' -h/' = r' cos'^.
n. Si la somme des distances d*un certain nombre de points fixes (jr\j'*), (-r*,^'),... à une droite, multipliées chacune par un facteur constant m\ m',..., est constante, celte droite est constamment tangente à an cercle.
Cet énoncé ne diffère de celui du n"* SO, Ex. IV, qu'en ce que la somme est constante au lieu d'être nulle; en employant les mêmes notations, on trouve, pour Téquation de la droite,
[xZ(/m) — l(mx')] cosa h- [j-(/w) — 2 (/;*>')] sinz = const.
Elle est constamment tangente au cercle
^ — h — r M" L> — v\ ' \ = const.,
qui a pour centre le centre des dislances proportionnelles du système des points donnés.
lOi. Nous terminerons ce Chapitre par quelques problèmes relatifs à l'emploi des coordonnées polaires.
EXERCICES
I. Le rectangle construit sur les segments OP.OP', déterminés par un cercle de centre 0 sur une sécante quelconque issue d'un point fixe 0, est constant.
Prenons le point fixe 0 pour pôle^ Téquation du cercle sera (95)
Les racines 'de cette équation sont évidemment les valeurs OP, OP' des rayons vecteurs correspondant à une valeur donnée de 0.
D après la théorie des équations on a OP. OP' = ^Z' — r' ; ce rectangle est indépendant de 0 et, par suite, constant, quelle que soit la direction suivant laquelle soit menée la sécante. Si le point 0 est en dehors du cercle, le reclangle devient égal au carré de la tangente (r/^— /•*).
l4o CHAPITRE VII.
IL Par un point fixe 0 (fig, 4i), on mène à un cercle une sécante sur laquelle on prend une longueur OQ égale à une moyenne arithmétique des segments OP, OP' : trouver le lieu du point Q.
En nous reportant à l'équation du deuxième degré de Texemple précé-
Flg.41.
dent, nous avons OP -f- OP' = ar/cosô; d ailleurs d'après l'énoncé,
OP-HOF=aOQ = p.
Uéquation polaire du lieu sera donc 0 = r/cosd, et représente un cercle décrit sur OC comme diamètre.
Le problème que nous venons de résoudre aurait pu s'énoncer ainsi : trouver le lieu du milieu des cordes qui passent par un point fixe.
m. On prend OQ (J!g, 4 » ) moyenne harmonique entre OP, OP' : trouver le lieu du point Q.
2 OP OP'
On a alors par hypothèse OQ = j^ — Tïp'' ™'''^ ^^ "•" ^P'= '-i^'cosO,
OP.OP'= d^ — r'; Téquation polaire du lieu est donc
(f — ;•' , rf' - r'
elle représente une droite (44) perpendiculaire à OC, passant à une
distance d— ~-t du point 0, et, par suite, à une distance — du centre C
du cercle. Donc (88) le lieu est la polaire du point 0.
Nous pouvons aussi résoudre cette question et d'autres semblables, lorsque l'équation du cercle est donnée sous la forme
/? ( j:' -h r ' ) -+- igjc -+- 'xfy h- r =: o. Transformée en coordonnées polaires, celte équation devient
6* -h a ( - cosO -h - sinô I p -h - = o, ' \a a J ^ n
THftORÈMBS ET PBOBLtMBS SUR LB CEBCLB. 1^1
et en opérant comme ci-dessus, on trouve, pour Téquation polaire du lieu,
^cosô-»-y'sinô
En revenant aux coordonnées primitives, cette équation devient
c'est celle que nous avons obtenue précédemment (89) pour la polaire.
IV. Étant donné un point 0 et une droite PM, on prend sur le rayon vecteur OP de la droite une longueur OQ inverse de celle du rayon vecteur : trouver le lieu du point Q.
V. Dans un triangle , on donne un sommet, Tangle C à ce sommet et le rectangle h^ des côtés qui le comprennent ; le deuxième sommet glisse sur une droite ou un cercle : trouver le lieu du troisième sommet.
Prenons le sommet fixe pour pôle, et désignons par f>, &' les côtés de l'angle donné; par 0 et 9' les angles que ces côtés font avec Taxe fixe : 00 a
En écrivant Téquation polaire du lieu que décrit le deuxième sommet, on aura une relation entre p et 0; et en y remplaçant p et 0 par -r et 0' — C,
aura entre p' et 0' une relation qui sera Téquation du lieu décrit par le troisième sommet.
On résoudrait le problème de la même manière, si on donnait le rapport des côtés au lieu de leur rectangle.
YL Par l'intersection de deux cercles, on mène une droite ; lrou\er le lieu du point milieu du segment que les cercles délenr.inmt sur cette droite'.
Les équations des cercles seront de la forme
p= 'ircos(ô — a), p = 2/''cos(0— x'),
et celle du lieu sera alors
p= rcos(0— a) -+-r'cos(0 —a') ,
qui représente aussi un cercle.
VIL Par un point 0 pris sur un cercle, on mène trois cordes quelconques; sur chacune d'elles, comme diamètre, on décrit un cercle. Les trois cercles ainsi obtenus (qui passent évidemment en 0) se coupent en
l4^ CHAPITBB Tfl.
trois autres points qui sont en ligne droite { Cambridge Matliematical Journal^ vol. I, p. 169).
Prenons le point fixe pour pôle , et un diamètre pour axe : l'équation du cercle sera, d étant le diamètre,
p = r/cos6.
Le diamètre du cercle construit sur la corde faisant avec Taxe un angle % sera r/cosst, et l'équation du cercle correspondant
p — //cosa.cos(9 — a).
L'équation du deuxième cercle, dont le diamètre fait un angle [j avec
Taxe, sera
p = r/cosp.cos(9 — f).
Nous trouverons les coordonnées polaires de l'intersection de ces deux cercles, en cherchant quelle est la valeur de d, qui satisfait à la relation
C0SaC0S(ô — a) = C0SpCOS(ô — p),
et qui est évidemment 0 = a -+- p : la valeur correspondante de p sera
p = ^/cosx.cosfJ.
De même, les coordonnées polaires de l'intersection du premier et du troisième cercle dont le diamètre fait un angle 7 avec Taxe) seront
0 = a -H 7, p = <'/.cosa.coS7.
L'équation polaire de la droite joignant ces deux points s obtiendra en substituant successivement ces valeurs de p et de 0 dans Téquation générale pcos(X — 0) =/? (4i). On trouvera ainsi, pour déterminer/; et /•, les deux équations
p— r/cos«cosficos[X — (a -h p)] = r/cos3tcos7Cos[/- — («-»- 7)] ;
d'où
/ = a -h j6 H- 7, /7 = r/cosacosficos7.
La symétrie de ces valeurs montre que cette droite passe aussi par le point d'intersection du deuxième et du troisième cercle.
DES STSTfcH£S D8 GBBCLKS. l43
