PROPRIÉTÉS D'UN SYSTÈME DE DEUX OU D UN PLUS GRAND NOMBRE DE CERCLES

105. Trouver r équation de la corde d'intersection de deux cercles^

Soient

les équalions des deux cercles. L'équation S — /rS'= o représente un lieu passant par les points d'intersection des deux* cercles S et S' (40); elle est du deu-xième degré, ne renferme pas de terme en xy^ ses termes en x^ et^* ont même coefficient; elle représente donc en général un cercle.

Dans le cas particulier où /r= i, les termes du deuxième degré disparaissent , et l'équation prend la forme

elle représente alors une droite passant par les points d'intersection des deux cercles.

106. Ces points d'intersection s'obtiendront en déterminant (82) les points où la droite S — S' rencontre l'un ou l'autre des cercles donnés. Ils pourront coïncider, être réels 0(] imaginaires, suivant la nature des racines de l'équation servant à les déterminer; mais l'équation de la corde d'intersection S — S'=o représentera toujours une droite réelle, dont les propriétés subsistent lors même que les deux points qui la définissent deviennent imaginaires (82).

l44 CHàPITBB YllI.

Celte droite porte le nom d'axe radical des deux cercles (*). Nous allons étudier quelques-unes de ses propriétés les plus importantes.

107. Le carré de la tangente menée à un cercle S =: o par un point (x,j) s'obtient en substituant ses coordonnées x et r aux coordonnées courantes dans l'équation de ce cercle (90); l'équation de la droite S — S' = o, axe radical des deux cercles S = o et S'=o, exprime donc que ;

Les. tangentes menées à deux cercles par un point de leur axe radical sont égales.

Cette propriété de la droite S — S\ indépendante de la nature des points d'intersection des deux cercles, permet de la construire géométriquement lorsque ces points sont imaginaires; car on en conclut facilement que cette droite est perpendiculaire à la ligne des centres, qu'elle divise en deux .segments tels, que la différence de leurs carrés est égale à la différence des carrés des rayons des cercles.

Le lieu des points tels que les tangentes menées de ce point à deux cercles S = o, S' = o soient dans un rapport donné h a pour équation S — /r'S'^o (90); c'est celle d'un cercle (105) passant par les points d'intersection, réels ou imaginaires, de S et S', ayant, par suite, même axe radical que les deux premiers.

108. Les axes radicaux de trois cercles S, S' et S", considérés deux à deux^ concourent en un même point qu'on appelle a centra radical des trois cercles ».

Ces axes radicaux ont respectivement pour éiiuation

ils se coupent donc en un même point (&0).

(*) Cette dénomination, introduite par M. Gaultier de Tours (Journal de l'École Polytechnique f cahier XVI, i8i3), est préférable à celle de « corde d'intersection », qui peut paraître singulière lorsque, géométriquement, les cercles ne se coupent pas.