II. Trouver le centre radical de

<r-i)*-f-{jr-a)'=7, (.r-3)'-f-r'-5, (x -+- 4)» ^- (^-f- 1)»^ 9.

RÉPONSE. ( j> :: ) •

\ 16 ib/

*109. Les systèmes formés par des cercles a^^ant un axe radical commun, c'est-à-dire passant par deux points fixes Jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu'il est facile de trouver en choisissant convenablement les axes coordonnés. En prenant pour axe des j l'axe radical commun et pour axe des j: la ligne des centres, l'équation de l'un quelcontjue des cercles du système pourra s'écrire

x^ -^jr^— 2. lix dz i» = o,

o' étant constant pour tous les cercles du système, k variant avec chacun d'eux et servant à le définir. En effet, le cercle représenté par cette équation a son centre sur l'axe des x, à une distance variable /r de l'origine, et coupe l'axe des j^ en deux points fixes donnés par la relation /'ibd' = o, qui est

l46 CHAPITRE YIII.

indépendante de A*. Ces points seront réels lorsque 6* aura le signe —, et imaginaires dans le cas contraire.

*110. Les polaires d'un point donné (^', j'), prises par rapport à un système de cercles ayant un axe radical commun^ passent par un point fixe. ^

L'équation de la polaire de (x'^y') par rapport au cercle

^'-4 j2- 2/fJC -f- ô-:= G

est (89)

xx' 4- yy' — k [x -\- x' ) -^ à^ z= o ;

elle renferme l'indéterminée If au premier degré : la polaire passe donc toujours par un point {\\q que détermine Tiniersection des droites xx' 4- yy' h- ô'= o et a: -4- :r:' = o.

*111. On peut toujours trouver deux points tels, que leurs polaires, par rapport à un système de cercles ayant un axe radical commun, soient fixes,

La polaire du point [x',y') sera fixe, c'esi-à-dirc indépendante de l\, si les équations xx' -h yy 4- ô* = o et a; -f- ^' = o^ représentent la même droite, et, par suite, la polaire. Mais alors les coordonnées x' et y' de ce point satisfont aux relations

^irzo, x"^z=zh' ou a;'==iiô.

Les deux points cherchés se trouvent donc sur Taxe des x^ à droite et à gauche, et à une même distance de l'origine; ils sont réels lorsque les deux points communs à tous les cercles sont imaginaires, et imaginaires dans le cas contraire.

Ces points jouissent de plusieurs propriétés importantes dans la théorie de ces systèmes de cercles*, ainsi la polaire de l'un d'eux, prise par rapport à un quelconque de ces cercles, passe par l'autre point et se trouve perpendiculaire à la ligne des centres.

L'équation générale des cercles élant de la forme

7»4-(j: — /r)»=/i' — ô' ne peut représenter un cercle réel que dans le cas où h^ esi

DBS SYSTÈMES DE CBBGLES. 1 47

plus petit que d*; lorsque A*' devient égal à d% le rayon du cercle est infiniment petit (80), et son centre a pour coordonnées y =o» X = did.

Les points que nous venons de trouver peuvent donc être eux-mêmes considérés comme des cercles faisant partie du système; pour cette raison, M. Poncelet (*) leur a donné le nom de points limites du système de cercles.

*112. Les tangentes, menées à tous ces cercles par un point de Taxe radical commun^ étant égales ( 107 ), le lieu de leurs points de contact est un cercle; et ce cercle coupe orthogonalementtous ceux du système, puisque ses rayons leur sont tangents. Son équation peut se trouver de la manière suivante :

Le carré de la tangente menée par un point (or = o,^= h) au cercle or* -f- j*— 2kx -h d^=z o, s'oblenant (90) par la substitution des coordonnées du point aux coordonnées courantes du cercle, sera A' 4- ô'. Le cercle cherché ayant pour centre ( jc = o, j = A J et pour carré du rayon A* -*- 3% aura pour équation

ou

'^' H- ^' — 2 hy = 5^

Quelle que soit, sur Taxe radical, la position du centre, autrement dit quelle que soit la valeur de A, ce cercle coupe toujours la ligne des centres aux points fixes^ z=zo, x = ±d que nous avons trouvés précédemment. Donc, tous les cercles coupant ortliogonalement les cercles d'un système à axe radical commun passent par les points limites du système.

EXERCICES