I. Trouver la condition pour que les deux cercles
x^-^y^-^ ig'x-h %f'y-\- c' — o se coupent à angle droit.
/*) Traité des Propriétés projeecives, p. ^i»
l48 CHAPITRE VIII.
En exprimant que le carré de la distance de leurs centres est é^al à la somme des carrés de leurs rayons, on trouve
ou, en réduisant,
II. Construire le cercle coupant orthogonalcment trois cercles donnés. La condition trouvée dans l'Exercice précédent fournit trois équations
du premier degré qui permettent de déterminer les trois inconnues ^, / et c; on achèvera la solution en employant Téquation du n° 91.
On peut aussi trouver une solution en observant que le centre du cercle cherché est le centre radical des trois cercles, et que son rayon est égal à la tangente menée de ce centre à Tun quelconque des cercles donnés.
III. Trouver le cercle coupant orthogonalcment les trois cercles de l'Ex. U, n*» 108.
RÉPONSE. (^a:^±y^(^y^^y = l2^
IV. Lorsqu'un cercle S coupe orthogonalcment les trois cercles S', S" et S", il rencontre à angle droit le cercle /.S'-»- /S*h- mS'"=o.
En effet, la condition
^g(M'-^ isT^ /w^)-^ î^/( V-^- (/■'+ //'/'")
= (X- -h / -H //i ) c -h kc' -4- le" -H me"*
est satisfaite, puisque, d*après l'hypothèse, les coefficients do X-, / et m sont tous séparément nuls.
On verrait de même qu'un cercle coupant orthogonalcment S et S" rencontre à angle droit le cercle /S' -h /S*.
V. Tous les cercles qui coupent orthogonalcment deux cercles S' et S" ont même axe radical.
Ce théorème, déjà indiqué au n" ii2, peut encore se démontrer de la manière suivante. Les deux équations du premier degré
^gs'-^ '^ff'=c-h c\ igg'-^ ^ff''= c-^c' donnant les valeurs de g et de /, l'équation
ne renferme plus que rindélerminée c qui est du premier degré, et par suite (105) représente une série de cercles ayant même axe radical.
DES SYSTÈMES DE CBBCLBM. l49
VI. La polaire de Pextrémilé A du diamètre AB d'un cercle, prise par rapport à un cercle coupant orlhogonaleroent le premier, passe par Ir (>oint B.
VII. Trouver le cercle coupant orthogonalemcnt trois cercles donnés. Cette question peut se résoudre, comme plus haut, par le centre radical, ou bien (Ex. VI) en cherchant le lieu du point dont les polaires, par rapport aux trois cercles, passent par un même point.
VIU. Le carré de la tangente menée d'un point quelconque d'un cercle à un autre, est dans un rapport constant avec la dislance de ce point à l'aie radical des deux cercles.
IX. Trouver l'angle a suivant lequel deux cercles se coupent. Soient R et r les rayons des cercles, D la distance de leurs centres, on
aura
0'= R'-hr'— îiRrcosa,
puisque l'angle suivant lequel les cercles se coupent est égal à celui dos rayons aboutissant au point d'intersection.
X. Si un cercle mobile coupe deux cercles fixes sous des angles constants, il coupera tous les cercles ayant même axe radical sous des angles constants.
Soient S = o, S' = o les équations des deux cercles fixes, r et /•' leurs rayons, a et ^ les angles sous lesquels ils coupent le cercle mobile , R le rayon du cercle mobile; les coordonnées du centre de ce cercle satisferont aux relations
R»— aRrcosa = S, R'— aRr'cosB =^ S',
puisque le carré de la tangente menée à un cercle fixe S est égal à D^ — /*',
D étant la distance des centres des deux cercles (90).
On en déduit
„- r. Xvcosa -h /r'cosS /S -h /S' R'— aR . -. ^- ~ - - — ;- ,
ce qui est ia condition pour que le cercle mobile coupe le cercle /S -+- /S' sous l'angle constant 7 : 7 étant défini par l'expression
(X -h /)r'coS7 = /rcosa-h /r'cosS,
dans laquelle r* est le rayon du cercle /S -f- /S'.
XI. Le cercle qui coupe deux cercles fixes sous un angle constant est tangent à deux cercles fixes.
l5o CHAPITRE VIII.
On peut en effet déterminer le rapport j de l'Exercice précédent, do
telle sorte que 7 = 0, -autrement dit que COS7 = 1; d'ailleurs il est facile de voir que si D est la distance des centres des cercles S et S', on a
En portant dans l'équation précédente la valeur de r' qu'on en déduh,
on trouve, pour déterminer le rapport 7 1 une équation du deuxième degré.
