Mener une tangente commune à deux cercles

Soient

(^ — a)''-4- (j— (3)'=r rS

les équations des deux cercles S et S'. L'équation d'une langenie au cercle S sera (85)

ou bien

(a: — a)cos0 4-(,r— P)sin0 = r,

en posant, comme au n"* 102,

i=cos0, i-=sm9;

on a de même, pour la tangente à S',

[x — a') COS0' H- (r — P' ) sin0' = r' .

L'équation dç la tangente commune s'obtiendra en écrivant que les deux équations précédentes représentent une même droite. Ramenant à l'unité, dans chacune d'elles, le coefficient de X et comparant les coefficients de^*, on trouve

tang0 = tango'; d'où

0=:0' ou ÔzrrlSo^-l-ô'.

En exprimant que l'une ou l'autre de ces conditions est remplie dans l'équation fournie par la comparaison des termes

DES SYSTÈMES DE CERCLES. l5l

'Consianis, on a, pour la relation cherchée,

(a — a' j cos9 + (j3 — (3')sin0 -f- r — r' = o lorsque 0 = Q\ et

(a~a')cos0-f-(;3 — P')slii0-+-r-i- r' = o

-dans le cas oii 0 = i8o" -h 5' .

Chacune de ces expressions conduit à une équation du 4]euxième degré pour déterminer 6. Les deux racines de la

Fig. 4q.

•première correspondent aux tangentes communes extérieures •(ou directes ) A a, A' a' (y7^. 4^); les deux racines de la seconde, aux tangentes communes intérieures (ou transverses) B 6, B'b\ Pour obtenir les coordonnées du point de contact de la tangente CQmmune avec le cercle S, il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, cosO et sind par leurs valeurs

cosQ = » sin0 = '-^^ -i

on trouve ainsi, suivant le cas,

(a-a')(j;'-a)-4-((3-13')(r'-p)-4-r(r~-r')rzro, (a — a') (0/ — a) -+- (P — P')(^'— j3) -h r(r -4- r') = o.

La première de ces équations , combinée avec celle du 'Cercle S, fournit une équation du deuxième degré ayant pour racines les coordonnées des points de contact A, A' des tangentes communes extérieures (88); et Téquation

(«'— a)(:r-a)-h(P~|3')(j-(3)-f-r(r-r') = o représente la corde de contact AA' de ces tangentes.

iSs CHAPITRE VIII.

De même

(a'a)(x-a)-^(;3-?')(j-(3)-hr(r4-r')=:o

représente la corde de conlacl BB' des tangentes communes intérieures.

Si le centre du cercle S est pris pour origine, on a a=ro, |3r=o, et réquation de la corde de contact devient

CL X -^ (3'j^ '•(''=F ''')•

EXERCICE

Trouver les tangentes communes aux cercles

x}-^ y- — 4 x — aj -h 4 -- o, x' -4- j- -h 4^ H- aj — 4 ~ o.

I>es cordes de contact des tangentes communes par rapport au premier cercle sont