IX -\- y -- G, 'ix
La première rencontre le cercle aux points (ji, ->.], f -— , ^ J ; les tangentes menées par ces points ont pour équation
y = '/, 4 j: — 3j= lo.
I^ seconde rencontre le cercle aux points (i, i), (^j ^j; les tangentes correspondantes sont données par
114. Les points O et 0', où se rencontrent respectivement les tangentes communes extérieures et intérieures, sont les centres de similitude des deux cercles. On verra plus loin la raison de cette dénomination.
Leurs coordonnées se trouvent facilement; car 0 est, par rapport au cercle S, le pôle de la corde de contact A A', dont réquation est
i p- {X— a)-^ ^-^ ^ ix — P = r».
DKS SYSTÈMES DE CBECLES. l53
En comparant cette équation avec celle de la polaire du point (:r\y)
on irouve, pour les coordonnées x\ y' du point 0,
ou bien
On trouverait de même, pour les coordonnées de ()',
a'r-f-ar' ,__?'''+?
Ces valeurs montrent (n" 7) que les centres de similitude sont les points où la droite joignant les centres des cercles est divisée, extérieurement ou intérieurement, dans le rapport des rayons.
EXERCICE
Trouver les tangentes communes aux cercles
x'-»-r' — 6.r — 8r= o, j:*-f-r' — ijo — 6r— 3.
Lëquation des tangenles menées au cercle
par le point (a-', ^ ') est (92)
Les coordonnées du centre extérieur de similitude étant —a, — i, le^^ langentes passant par ce centre auront pour équation
25(x*H-7' — 6j: — 8r) = (5j:-i- 5/— lo)», c'esl-à-dire
x;- -+- x -h 2j -h 2 = o, ou (j: H- 2)(j-f- i) = o.
l54 CHAPITRE YIII.
I^s cercles donnés se coupant en des points réels, les tangentes intérieures sont imaginaires; leur équation
se trouve de la même manière en observant que le centre intérieur de
ii.1 3i similitude a pour coordonnées — et — •
115. Les droites menées par l'intersection des tangentes communes à deux cercles sont coupées en parties proportionnelles par ces cercles.
Si l'on prend sur le rayon vecteur OP, issu du point 0 et aboutissant au point P, un point 0» tel que 0P=: m.OQ, les coordonnées du point P s'obtiendront en multipliant par m celles du point Q; si P décrit une courbe, Q en décrira une autre dont l'équation se trouvera, en remplaçant x et j par mx et mj dans Téquation de la courbe décrite par P-
Prenons pour axes les tangentes communes, et représentons [fig> 4^) Oa par a, OA par a' : les équations des deux cercles seront (84-, Ex. II)
•^*-+-jr' -t- ^aT'COSû) — 2 or — lay -f- a' = 0, :r'-+-j^' — ^xycostù — ic^x — 2a'^-f-a'* = o.
La seconde se déduit de la première en y remplaçant x et j par —7-» -7-; elle représente donc le lieu obtenu en prolongeant chaque rayon vecteur dans le rapport de a à a'.
Corollaire. — Puisque le rectangle Op.Op'(yîg^. 43) est constant, OR étant avec Op dans un rapport constant, le rectangle OR.Op'= OR'.Op est aussi constant, quelle que soit la droite menée par le point 0.
116. 5/, par un centre de similitude 0, on mène deux droites coupant le premier cercle (Jig'^^) aux points R, R', S, S', et le second aux points p, p', o-, o"', les cordes RS et pa^ R'S' et p'o-' sont parallèles, et les cordes RS et pV, R'S' et p<T se coupent sur l'axe radical PQ des deux cercles.
