DES SYSTÈMES DE CERCLES
En prenant OR et OS pour axes, on aura ( H5)
OR = m.Op, 0Sr=m.0(7.
Fig. 43.
Le cercle p(Tç><j' ayant pour équation
a ( x' -I- ixy cosw ■+-'>*') -+- '^gx -+- '^•fy -\- c r^o ^ celle du cercle RSR'S' sera
a{x^-\-ixyç,Q%us -h^*) -h im[gx -\- fy) et celle de Taxe radical (105)
Les équations de po- et pV seront
en posant
Op = a, 0(7 = A; Op'=a', 0(j' = ft'.
On aura alors pour celles de RS, R'S'
X r ma mb
ma
mh'
D'après la forme de ces équations, RS est parallèle à pa, et R'S' à pV.
Quant aux cordes RS et p'a', elles se coupent sur la droite
r'esi-à-dire sur Taxe radical des deux cercles, puisque celle équation peut se mettre sous la forme (100]
^- ig^ -4-/j) -^ ( m -h I ) c = o.
Il en esl de même pour les cordes R'S' et pc.
Comme cas particulier de ce théorème, on voit que les tangentes en R et p, R' et p' sont parallèles, ei que les tangenies en R et p', R' et p se coupent sur Taxe radical.
il7. Les centres de similitude de trois cercles S, S' et S", pris deux à deux, sont situés trois par trois sur une même droite,
Soie'nl r, r', r" les i ayons de ces trois cercles; (a, (3), (a', [3'), (a", (3") leurs centres. Les coordonnées de deux des centres de similitude seroni (\\k)
rot! ^ ar' r(3' — (3r'
et la droite qui les joint aura pour équation (29, Ex. VI)
/•(P'a"— j3"a')-hr'((3"a— (3a") + r"((3a' - (3'a) r^ o.
La symétrie de cette équation montre que cette ligne passe aussi par le troisième cenlre de simililtide
Celte droite s'appelle axe de similitude des trois cercles.
Puisque chaque couple de cercles a deux cenlres de similitude, il y a en tout six cenlres de similitude S, S', S", . . . pour les trois cercles; ces cenlres sont distribués sur quatre axes de similitude, ainsi que le représente la^ig. 44*
Les équalions des trois aulres axes s*obtiendront en changeanl successivemenl les signes de r, r', r^ dans Téquation donnée plus haut.
DKS SYSTEMES DE CERCLES. iS*]
Corollaire. — Si un cercle 2, est tangent aux deux cercles S et S% la droite qui joint les points de contact passe par un centre de similitude de S é?^ S'. Car lorsque deux cercles se loucheni, un de leurs centres de similitude coïncide avec le point de contact.
Fig. 4'|.
Quand ^ est tangent intérieurement ou extérieurement aux deux cercles S et S' à la fois, la droite joignant les points de contact passe par le centre de similitude de S et S' qui leur est extérieur; lorsque 2 est tangent intérieurement à l'un des cercles et extérieurement à l'autre, cette droite passe par le centre de similitude intérieur, ou situé entre les deux cercles.
*118. Trouver le tieu du centre du cercle 2 coupant trois cercles donnés S, S', S" sous des angles égaux,
SoitS:== o, ou
l'équation d'un cercle, le carré de la distance d'un point (:r, y) à son centre a pour valeur
Les coordonnées du centre du cercle 2 de rayon R, coupant S sous un angle a> satisfont à la' condition (112, £x. V]
Sr=:R*— aRrcosa;
l58 CHAPITRE Vlli.
elles satisfont de même aux relations
S' = R* — aRr'cosa, S''i= R* — aRr'cosa,
p 1 i • - . prî S et S' sous Tangle a.
En éliminant R et cosa entre ces trois équations, on aura réquation du lieu cherché. On obtient successivement
S — S' == 2R(r' — r) cosa, S — »'= 2R (r*'— r) cosa,
Le lieu est donc une droite qui passe par le centre radical (108); en remplaçant S, S' et S'^ par leurs valeurs développées, on trouve, pour les coefficients de x et de j,
En comparant ces expressions avec celles correspondantes de Tcquation d'un axe de similitude (117), on voit (32) que le lieu est la perpendiculaire abaissée du centre radical sur un des axes de similitude.
Il est indifférent de prendre, pour angle des deux cercles, l'un ou Tautre'des deux angles supplémentaires que forment les rayons aboutissant au point d'intersection. Les formules (112) employées supposent que cet angle est celui sous lequel la distance des centres est vue du point d'intersection ; dans cette hypothèse, le lieu dont on vient de trouver l'équation est une [Jerpendiculaire à l'axe extérieur de similitude. Si l'on n'admet pas cette restriction, on peut prendre
Si=: R*:r:2R/'C0Sa,
ce qui revient à changer le signe de l'une ou l'autre des quantités r, r', r" dans les expressions précédentes. Par suite ( 117), le lieu cherché peut être perpendiculaire à l'un quelconque des axes de similitude (*).
(*) Les cercles coupant sous des angles égaux trois cercles donnés S, S', S",
