DES SYSTÈMES DE CERCLES

Lorsque deux cercles sont tangents intérieurement, Tangle sous lequel ils se coupent est nul, puisque les rayons du point de contact coïncident; mais s'ils se touchent extérieurement, cet angle, en vertu des conventions faites précédemment, est égal à i8o degrés, puisqu'un des rayons est situé dans le prolongement de l'autre. La perpendiculaire abaissée sur Taxe extérieur de similitude contient donc le centre du cercle tangent intérieurement ou extérieurement à la fois aux trois cercles donnés. Le centre du cercle tangent extérieurement à S et intérieurement à S' et S" (ou vice versa) sera sur la perpendiculaire à un des autres axes de similitude, puisque Téquation du Heu décrit par le centre s'obtiendra en changeant le signe de r dans la précédente. On peut donc en tout mener à trois cercles donnés huit cercles tangents; les centres de ces huit cercles se trouvent, deux par deux, sur les perpendiculaires abaissées du centre radical sur les quatre axes de similitude.

•|19. Décrire un cercle 2 tangent à trois cercles donnés S, S', S".

Ce qui précède indique un lieu sur lequel doit se trouver le centre du cercle cherché : on peut en déterminer un autre en éliminant son rayon K entre les deux équations

mais on trouverait ainsi une courbe autre que le cercle. On obtient une solution plus élémentaire en cherchant, au

de rayons r, r\ r', ont pour axe radical commun un des axes de similitude. Soient, en effet, trois cercles S, S', 1", ée rayons R, R', R'', coupant les ccrclos donnés respectivement sous les angles a, /S, 7. Les coordonnées du centre do S satisfont aux conditions

2 =r*— arRcosa, 2'= r*— arR'cos/3, 2"= r» — arR" cosy,

d'où

(Rcosa — R'co8-/)(2— 2') = (Rcosoe— R'cosy8)(2 —1").

Cette équation, analogue à celle d'une droite, est satisfaite par les coordonnées du centre de S, S' et S'', trois points que nous n'avons pas supposés en ligne droite; elle est donc de la forme 2 = A2'+/S'', et prouve que les trois cercles ont même axe radical.

l6o CBAPITRE Vin.

lieu des coordonnées du centre du cercle tangent 2, celles do son point de contact avec un des cercles donnés. Ce point se trouvant sur un cercle, on a déjà une relation entre ses coordonnées; il suffira donc d'en trouver une autre pour qu'elles soient complètement déterminées (*).

Plaçons, pour simplifier, l'origine des coordonnées au centre du cercle S, dont on veut déterminer le point de contact avec 2, l'équation de ce cercle se réduit à

cl celles des autres cercles S et S' sont toujours

{x ^ oTY -^{y—^^'Y ^ r"^.

Si A et B sont les coordonnées du centre de 2, elles satisferont aux relations

de plus, les coordonnées du point de contact de S avec 2 étant X et j, on aura

■rfR-^r) . r(R-4-r) r r

Pour trouver le résultat de la substitution de mx, mr à X Qiy dans l'équation d'une droite, on peut multiplier toute l'équation par m et en retrancher ( m — i ) fois le terme constant. Ce terme étant égal à

dans S — S' (105), le résultat de la substitution de A et B à X Qi y dans S — S' = aR (r — r' ) sera

^.±1(8- S') -h- (a'»-hP"-+-r»-r'»)r=r2R(r— r').

(*) Cette solution a été donnée par M. Ger(;onne {Annales de Mathématiques, l. Vn, p. 289).

DBS SYSTftMBS DB CBBCLB. l6l

Od aura de même

En éliminant R entre ces deux équations, on voit que le point de contact cherché se trouve à l'intersection du cercle S avec la droite

120. Pour compléter la solution géométrique du problème, il reste à montrer comment on peut construire cette droite. Comme elle passe par le centre radical des cercles donnés, il suffit d'en trouver un deuxième point. En -remplaçant S — S', S — S"' par leurs valeurs développées (105), son équalion devient

aa' JT -h 2 13> -4-r'^-- r* — a'' — ^''

ou en ajoutant l'unité à chacun des termes,

cc'x -f- (5'r4-(r'— r)r a"^ H- S" r H- ( r" — r) r

ce qui exprime qu'elle passe par l'intersection des droites ax -f- ;3'j -f- (r' — r)r — o, a"x -f- p"7+ (''''— 0 ''= «>•

La première de ces droites est (113), dans le cercle S, la corde de contact des tangentes communes aux cercles S et S': autremenl dit (IIV), c'est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S' ; de même, la seconde droite est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S''. L'intersec-

l62 CHAPITRE VIII.

lion de ces droites est donc le pôle de Taxe de similitude des ' cercles, par rapport au cercle S.

De là on déduit la construction suivante.

Construire (fig. 45) un des quatre axes de similitude SS' des trois cercles C, C, C; déterminer le pôle de cet axe successi-

Fig. /,5.