CM
vement par rappori aux trois cercles, et joindre les points ainsi trouvés P, P' et P'^au centre radical R. Si les droites RP, RP', RP", rencontrent les cercles aux poinls,a 6; a', V ; a", b", le cercle passant par les points a, a', a'* sera un des cercles tangents cherchés, et le cercle mené par les points fr, 6', //' en sera un autre.
En appliquant la même construction aux trois axes de similitude, on déterminera les six autres cercles tangents.
121. On peut arriver, sans calcul algébrique, au même résultat, de la manière suivante :
I® Les lignes ah, a' b, a' h" se rencontrent en un point qui est le centre de similitude des cercles aa'a", bVh" (117, Corollaire ) ;
a« Les droites a'«", b'b" se coupent en S centre de similitude de C et C^ (1J7);
3* Par suite (116) les lignes transversales a' 6', a" 6" se coupent sur Taxe radical de C etC". De même, a"b" et ab se
BBS SYSTÈMES DI GBRGLE. l63
coupent sur Taxe radical de C^ et C : le point R, centre de similitude des cercles ada"^ hW* est donc en môme temps le centre radical des trois cercles C, C et C";
4* Puisque a' 6', a" 6" passent par le centre de similitude de ada^j bb^b^y les droites a' a", b'b" se rencontrent en S sur Taxe radical de ces deux cercles (116). Les points S' et S* se trouvent ainsi sur ce même axe radical. Donc, Vaxe de similitude SS'S*' des cercles C, C, C" est en même temps Vaxe radical des cercles a a' a y bb' b*';
5*» Comme a^b" passe par le centre de similitude de aaV, bl/b"y les tangentes menées à ces cercles (116) aux points où a^b^ les rencontre se coupent sur Taxe radical SS'S'' en un point qui est évidemment le pôle de a"b" par rapport au cercle C*; le pôle de a'^b" se trouvant sur SS'S", le pôle de SS'S" par rapport à C sera (98) sur «"6". On pourra donc construire a"b" en joignant le centre radical R au pôle P de S' S" par rapport au cercle C;
&* Le centre de similitude de deux cercles étant sur leur ligne des centres, et Taxe radical perpendiculaire à cette ligne, la droite joignant les centres des cercles aa^a'\ bb'b" passe par le point R (118) perpendiculairement à SS'S'^.
121 (a). Lorsque- quatre cercles sont tangents à un cinquième, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation
(i2)(34)it:(i4)(23)±(i3)(-24)=.o,
dans laquelle (12) représente la longueur de la tangente commune au premier et au deuxième cercle, etc.
Soient R le rayon du cinquième cercle, 0 son centre Jig. ^6); r et r' les rayons des cercles i et 2, A et B leurs centres; a ei b leurs points de contact avec le cinquième. Le triangle a 06, étant isoscèle, donne
a6:=2Rsin-a06.
l64 CHAPITRE VIII.
Les côtés du triangle AOB étant R — r, R — /•' et D zz: AB,
on a
siï)^-nOb~
d'ailleurs
par suite
Dans le quadrilatère inscrit formé par les quatre points do contact «, 6, c et rf des quatre premiers cercles avec le cinquième, les côtés et les diagonales satisfont à la condition
ab.cd -h ad.bc = ac.bd;
remplaçant, dans celte équation, chacune des cordes ab,. . . par sa valeur, trouvée précédemment, en fonction de la longueur (12), . . . de la tangente commune correspondante, et sup-
primant le facteur commun — r== y
s^\y^ — r)(i{— r')(K-' r"){ii- r"' ) on obtient la relation qu'il fallait démontrer.
121 (6). On peut déduire de ce théorème une solution du problème posé au n® 119. Lorsque le quatrième cercle se réduit à un point, ce point appartient au cercle tangent aux trois
DKS SYSTftMKS DE CERCLE. l65
premiers; les expressions (40» (4^) 6l (43) représentenl la longueur des tangentes menées par ce pointa ces trois cercles. D'ailleurs, en désignant par S, S' et S'' les valeurs particulières que prennent les équations des trois premiers cercles lorsqu'on y remplace les coordonnées courantes par celles de ce point, on aura, d'après le n^ 90,
Les coordonnées d'un point quelconque du cercle cherché satisferont donc à la relation
(23)v^±(3i)v^S^zfc(i2)v^=o,
qui se transforme en une équation du quatrième degré lorsqu'on fait disparaître les radicaux. Dans le cas où (23), (3i) et (12) sont les tangentes communes directes, elle se décompose en deux équations du second degré représentant respectivement les cercles tangents intérieurement et extérieurement {Jig> 45 ) au^ iï*ois cercles donnés.
Cette solution et le théorème d'où on la déduit sont dus à M- Casey.
121 (c). Ce théorème peut aussi se démontrer sans recourir aux propriétés du quadrilatère inscrit. En prenant, comme au n" 104 (Ex. VI), sur chaque rayon vecteur OP {Jig. 4" )• mené par un point 0 à une courbe, une longueur OQ inversement proportionnelle à OP, on obtient une nouvelle courbe qu'on appelle inverse de la courbe donnée. L'inverse, par rapport à l'origine 0 du cercle
jj.»l j^a^ igx -h a/y -f- c = o a pour équation
C ( J?' -f- ^' ) -h 2 gX -f- 2/1^' +1=0.
C'est un cercle, excepté dans le cas où c= o (c'est-à-dire quand le point 0 est sur le cercle), cas dans lequel c'esl une ligne droite. Réciproquement, l'inverse d'une droite est un cercle passant par le point 0.
l66 CDAPITRF YIII.
A un couple de cercles correspond, par rapport à un poini, un couple inverse, qui forme avec le premier un système jouissant de la propriété suivante, indiquée par M. Casey : le rapport du carré de la tangente commune au produit des rayons est le même dans l'un et l'autre couple (*). En effet, le rayon r d*un cercle étant donné par (80)
celui de son inverse s'obtiendra en remplaçant, dans cette équation, g", /et c par -^~'>-tç\ sera ainsi égal à -• La quan-
tilé D'— r^ — r'^, qui est représentée par c -f- c'—- '^gg'—^ff (112, £x. I), deviendra, par une substitution analogue, égale
à —, • Le rapport deD'— r* — r", au produit rr' des
rayons, et, par suite, le rapport de D*— (rit r')' à rr' est donc le même pour chacun des couples.
Considérons maintenant quatre cercles tangents à une mémo droite en quatre points. Les distances mutuelles de ces quatre points situés en ligne droite, qui sont alors les longueurs des tangentes communes, sont liées par la relation
comme il est facile de le voir en partant de Tidentité
(6-n)(rf— c)-f-(rf— û)(c- 6)=r(c~«)(rf— A),
dans laquelle «, 6, c, d représentent les distances de ces quatre points à un point quelconque de la droite pris pour origine. L'inverse du système, par rapport à un point quelconque, se composera de quatre cercles tangents à un cinquième; et la relation précédente subsistera encore, puisque le rapport de chacun de ses termes à la racine carrée du produit des
(") Ce qui revient à dire (112, Ex. VIII), que Tanglc sous lequel se coupent les deux cordes d'un couple est le même pour les deux couples : proposition facile à établir {jéomctriquement.
DES BTSTÈHJtS D£ GBRCLE. 167
rayons des quatre premiers cercles, ne change point quand on passe du premier système à son inverse.
La relation entre les tangentes communes étant ainsi établie directement, on peut en déduire, comme cas particulier, les propriétés relatives aux côtés et aux diagonales du quadrilatère inscrit. Il suffit, pour cela, de supposer que les quatre premiers cercles se réduisent à quatre points.
Cette démonstration fait voir en outre que, dans le cas où deux cercles sont tangents à la fois Intérieurement ou extérieurement au cinquième cercle , il faut faire entrer dans la relation donnée ci-dessus leur tangente commune directe, et leur tangente inverse lorsqu'ils^ sont situés Tun à l'intérieur, l'autre è l'extérieur. Ainsi l'équation des quatre couples de cercles tangents à trois cercles donnés
représentera :
i"* Les cercles tangents laissant du même côté, intérieur ou extérieur, les trois cercles donnés lorsque {12 ), (28) et (3i) seront les tangentes communes directes; 2* les cercles touchant intérieurement le premier cercle et extérieurement les deux autr^ (ou inversement), lorsque (23) sera une tangente directe, (3i) et (12) des tangentes inverses; 3® enfin les deux autres couples de cercles, en considérant successivement Tune des tangentes (3i) et(i2) comme directe, et la troisième tangente comme inverse.
