A L'ÉQUATION DU CERCLE

122. Pour savoir si une équaiion du deuxième degré, exprimée au moyen de la méthode des notations abrégées exposée au Chapitre IV, représente un cercle, il suffit de la ramener à une équation en x et j, en y remplaçant chacune des abréviations a par son expression équivalente

X cos a 4- / sin x — p^

et de voir, dans cette équaiion transformée, si le terme en xy disparaît, et si les coefficients de x^ et de x^ sont égaux. Les exemples suivants serviront d*éclaircissemenis.

Trouver la condition pour qu'un cercle soit le lieu d'un point tel, que le produit de ses distances à deux côtés opposés d'un quadrilatère soit dans un rapport constant k avec le produit de ses distances aux autres côtés.

Soient a, p, y, ô les quatre côtés «du quadrilatère; l'équation du lieu est

(xy = h i38

et représente une courbe du second degré qui passe par les sommets du quadrilatère, puisque son équation est satisfaite par une quelconque des quatre conditions

Si Ton rcmplae, dans celte équation, les abréviaiions a, (3, y, è par leurs expressions équivalentes en x et j, on obtient Té-

DU CBBCLB. NOTATIONS ABRÉGfiBS. 169

qualion transformée

(xcosa -+-j^'sina — p){xcosy 4-j''siny — p")

= /» (jrcos(3 + 7Sin(3 — />')(j;cos<î -♦-jsini — /;'").

En écrivant qne les coefficients de x* et de 7 ' sont égaux, et que celui de xy est nul, on Irouve, pour exprimer que celle courbe est un cercle, les conditions

cos(a-i- y)=/f cos((3 -hô), sin(a -f-y) = A* sin (^ + ô).

Si l'on ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré, il vient

Celle condition étant remplie, on a

a -h y = (3 + 0, ou a 4-y =^i8o<»4- (3-l-â; d'où

a — /3z=ô— y, ou a — p==: i8o*»-f- â — y;

et comme Tangle a— j3 est (61) le supplément de l'angle formé par les droites oc et (3 entre lesquelles se trouve Torigine, cette condition est satisfaite lors(|ue le quadrilatère est inscriptible. Quand Torigine est à Tinlérieur du quadrilatère, on doit prendre /r = — i : l'angle compris enire « et j3 est ^lors supplémentaire de l'angle formé par y et 0; on prendra, au contraire, /r = 1 si l'origine est en dehors du quadrilatère, et les angles opposés seront alors égaux.

123. Trouver la condition pour qu'un cercle soit le lieu d'un point tel y que le carré de sa distance à la base d'un tri^ angle soit dans un rapport constant avec le produit de ses distances aux autres côtés.

Soient a, ^, y les côtés du triangle, l'équaiion du lieu sera Si, pour déterminer les points où la droite ol rencontre le lieu,

on fait a = o dans son équation, on trouve y*==o. Le premier membre étanl un carré parfait, la droite a rencontre le lieu en deux points qui coïncident; autrement dit (83), elle est tangente au lieu au point {ce, y). De même, (3 est la tangente au point (p, y). La droite y est donc la corde de coniact des deux tangentes a et p.

En remplaçant les abréviations par leurs valeurs développées, comme au numéro précédent, et écrivant que les conditions indiquées au n"* 80 sont remplies, on trouve

cos(a -f- (3) = /rcosay, sin(a -f- (3)=r A-sinay,

et, par suite.

Pour qne le lieu soit un cercle il faut donc que le triangle soit isoscèle : résultat qui peut s'énoncer ainsi :

Le produit des distances du point d'un cercle à deux tangentes est égal au carré de la distance de ce point à leur corde de contact.

EXERCICE

Trouver la condition pour qu'un cercle soit le lieu d'un point tel, que hi somme c' des carréâ de ses distances aux trois côtés d*un triangle a^y soit constante..

L'équation du lieu étant en général a' -h 6' -h 7* = c', représentera un cercle lorsqu'on aura

cosaa -f- cosap -ncosav = p, sinaa -f- sinaf -h sin^y = o;

cosaa = — 2COs(p-f-7)cos(P — 7), sinaa = — 2sin(^ -4-7) cos(f — 7).

En élevant au carré et ajoutant, il vient

1= 4cos'(P — 7), p — 7 = Go^

On verrait de même que chacun des autres angles doit être égal à 60 de< grés. 11 faut donc que le triangle soit équilatéral.

124.. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle formé par les droites a = o, (3 = o, y = o.

DU CERCLE. KOTÀTtONE ABRÉGÉES. I7I

Une équation de la forme

/(3y 4- mya -f- na(3 = o

représente une courbe du second degré circonscrite à ce triangle, puisqu'elle est satisfaite par chacune des suppositions

az=:o, (3=o; (3=zo, y = o; y=ro, a=:o.

En suivant la marche indiquée au n» 122, on trouve, pour exprimer que cette courbe devient un cercle, les conditions

/cos((3-f- y)4- mcos(y -l-a)-h/icos(a -h (3) = o, /sîn (P -f-y) H- 'w sin{y-f-a)+ nsin(a H- (3) = o.

Mais lorsqu'on a les deux équations

/a'-f-m(3'4-ny'— o, /a''-f-m|3"-+-/iy"==o,

les quantités /, m et n sont proportionnelles à |3'y"— (3" y', Yar— Y^y a'P"— «"(3' (65); dans le cas actuel, l, m ein seront donc proportionnels à sin (j3 — y), sin (y — a), sin (a — (3) ou à sin A, sinB, sinC, A, B et C désignant les angles du triangle formé par les droites a, (3, y, comme au n° 61. L'équation du cercle circonscrit sera donc

Py sinA H- ya sin B -i- «(3sinC — o.

125. L'interprétation géométrique de cette équation n'est pas sans importance. Les perpendiculairesOQ,OPCAg-.47)abaissées

Fig. frr

d'un poinl O sur les deux côtés a el ? du triangle ABC ont précisément pour longueur a et (3 (51j; d'ailleurs l'angle QOP

qu'elles comprennent est le supplément de Tangle C du triangle : le produit a(3sinC mesure donc le double de Taire du triangle OPQ. De même yasinB, (3ysinA représentent respectivement le double de l'aire des triangles OPU, OQR, OR étant perpendiculaire à y. La quantité

j3y sinA -f--/a sinB -f- a(3sinC

est donc le double de Taire du triangle PQR, et Téqualion du numéro précédent exprime que, si le point 0 appartient au cercle circonscrit au triangle» Taire PQR est nulle, c'està-dire ( 36, Corollaire li) que les trois points P, Q, R sont en ligne droite.

Le lieu d'un point 0 tel, que la surface du triangle PQR formé par ses projections sur les trois côtés du triangle ABC soit constante, a pour équation

Pv sinA -+- yasinB-h a^sinC = const.

Cette équation, ne différant que par une constante de celle du cercle circonscrit, représente (81) un cercle concentrique à ce dernier.

126. Reprenons Téquation l^y -\- mya-h nsc^ = o, nous pouvons la mettre sous la forme

y{l^ -h ma) -{- nx^ = o;

la droîie y rencontre la courbe sur les droites a et |3(124), puisque, si nous faisons y r=:o dans Téquation ci-dessus, elle se réduit à aj3 — o. Pour la même raison, la droite /j3-+-/na rencontre la courbe en deux points situés sur les droites a et (3; mais ces deux points coïncident, puisque l^-h ma passe par Tintersection de a et (3 : la droite /a + m[3 rencontre donc la courbe en deux points qui coïncident, c'est-à-dire lui est tangente (83) au point (a, (3).

Cette conséquence de Téquation /j3y -h mya H- /iaj3==o, ainsi que quelques autres dont l'exposé va suivre, ne supposent point aux coefficients /, m, n les valeurs particulières sinA, sinB, sinC : elles s'appliquent donc non-seulement à

DU GBRCLB. ROTATIONS ABROGÉES. i;3

un cercle, mais à une courbe quelconque du second degré circonscrite à un triangle.

Dans le cas du cercle, la tangente a pour équation

asinB ■+- |3sinA =0,

et, comme asinA + |3sinB = o représente une parallèle au côté y menée par le sommet (a, (3) (6'»), la tangente fait avec un des côtés a du triangle le même angle que le coté opposé / fait avec le troisième ^ (55).

Les équations des tangentes menées à la courbe du second degré par les trois sommets du triangle peuvent s'écrire

m /i ni l m

par suite, les trois points où ces tangentes coupent rospeclivemenl les côtés opposés du triangle sont situés sur la droite

En retranchant Tune de l'autre les équations des tangentes, on trouve, pour les droites qui joignent les sommets du triangle formé par les tangentes aux sommets correspondants du triangle primitif,

m n ni l m

Ces droites se coupent en un même point (40) (*).

127. Si «', ;3', y'; a", P", y" sont les coordonnées de deux points de la courbe, la droite qui les joint a pour équation

/a mS ny

et: X p p y i

en effet, elle est satisfaite lorsqu'on y remplace les coordonnées courantes a, [3, y par a', P',y', puisque a", (3", Y vérifient

f ■) Les tftéorèmcs de ce numéro sont dus à M. Bobillier {Annales de Mathi" manques, t.XVIlI, p. 3qo.). U premicre équation du u» 127 e&t Je M. Hcrmet.

réquation de la courbe qui peut se meure sous la forme

On verrait de même qu'elle est satisfaite par cf!'y^",y". On déduit de là, pour l'équation de la tangente en un point

la. m& ny

Réciproquement, si Xa -4- ap-4- vy = o est Téqualion d'une tangente, les coordonnées «', (3', / du point de contact sont données par les relations

En portant les valeurs qu'on en tire pour a',j3',7' dans l'équation de la courbe qui doit être satisfaite par les coordonnées du point de contact, on trouve

V^/X ■+- si mu. H- y/iy = o.

C'est la condition pour que la droite Xa -h /jl|3 -+- vy soit tangente à la courbe /(3y + m ya -4- na^, et on peut l'appeler (70) Véquation tangentielle de la courbe. On obtient aussi celte équation tangentielle en éliminant y entre l'équation de la droite et celle de la courbe, et exprimant que l'équation résultant en ^ a des racines égales.

128. Trouver la condition pour que Véquation générale du second degré en a^ ^, y

aa'4- 6p*-f- cy'4- 7.f^y-\- 'xgyoL -h 2/1 «p =10 représente un cercle (*),

Les équations de tous les cercles ayant les mêmes termes du second degré, x'-hj-*, ne peuvent différer que par une

(*) Dublin, Exam. Papers^ janvier 1867.

quaniité linéaire. Si donc S représenle un cercle, l'équation

S -f- /x + my* -+■ n=^o

sera celle d'un cercle quelconque, el il en sera de même en

coordonnées trilinéaires : il suffit donc d'ajouter à l'équation

connue d'un cercle la fonction linéaire /a -t- mS -4- ny, après

l'avoir toutefois multipliée par la constante

«sinA 4- psinB -f- y sinC,

afin de conserver l'homogénéité, pour obtenir Téquation d'un cercle quelconque.

Si Ton se reporte au n® 124., on voit que cette équation peut se mettre sous la forme

(/a -h m^-f- ny){asinA -t-^sinB -h y sinC)

-h fr(Py sinA -f- y^csinB -h a(3sinC)= o.

En comparant les coefficients de ses termes en a% j3% y' avec ceux des termes correspondants de l'équation générale, on voit que cette dernière peut s'écrire

(-At a -+- -^ (3 -t- -v^ y") (« sin A -+- 13 sinB -h y sinC) \sinA sinB^ sinC'/ ^ '

z=zk(^y sinA -h yasinB -4- a^sinC).

On déduit de là, pour les autres coefficients,

2/sinBsinC = csin»B-h6sin^C-h/fsinAsinBsinC, 2g"SÎnCsinA = asin'C-4- csin'A -f- /rsinA sinBsinC, Tia sîn A sîn B = 6 sin' A -h a sin'B -f- A* sin A sin B sin C ;

et en élinnînant A-, on trouve, pour les conditions cherchées,

6sin'C4- csin*B — a/sinBsinC =rcsin'A H- asin'C — agsinCsînA = asin*B + 6sin'A — 2/isinA sinB.

Si deux cercles ont pour équations

(/a-f- mJ3 4- /iy)(asinA -h psinB-i-y sinC)

-+- /r{(3ysinA -^ya sinB + a[3 sinC = o, (/'a-4-m'(3-4-/i'y)(asinA-h(3sinB4-ysinC)

-r- A (PysinA -f- ya sinB 4- a^sinC — o,

ils ont pour axe radical la droite

/a + mp -f-ny — (/'a4- m'P -i-/i'y)=:o,

et la 4-m(3-i- ny représente Taxe radical correspondant au premier de ces cercles et au cercle circonscrit au triangle.

EXERCICES

I. Vérifier que y.^ — 7' représente un cercle lorsque A -- B (1:^ ). Cette équation peut en effet se mettre sous la forme

otèsinC -f- p7sinA-f- yasinB — 7(asinA -è- f 8inBH-7sinC) = o.

II. Les milieux des côtés d*un triangle et les pieds des hauteurs sont si lues sur un cercle.

En eflet Téquation

a'sin A cosA -h f' sinB cosB -h 7' sinC cosC

— ( f 7 sin A -+- 7a sinB 4- ap sin C ) = o

représente une courbe du deuxième degré passant par les points en quo2>lion ; car en y faisant 7 = o, on trouve

a'sinAcosA h- ^'sinBcosB — afî(sinA cosB -h sinBcosA) = o^

expression qui se décompose dans les deux facteurs

a sin A — ^ sinB et acosA — ^cosB.

Cette courbe est un cercle, puisque son équation peut s'écrire

(acosA -h ^cosB -h 7COSC) (a sin A -h f sinB-f- 7 8inC)

— 1 (f 7 sin A -h 7» sinB h- a^ sinC) = o.

L'axe radical de ce cercle et du cercle circonscrit a pour équation

a cosA -f- f cosB -f- 7 cosC = o,

qui est aussi celle de Taxe d'homologie du triangle donné f>ar rapport iui triangle formé en joignant les pieds des hauteurs.

129. Trouver V équation du cercle tangent aux trois côtés du triangle a^y.

La courbe du second degré tangente aux trois côtés du triangle a pour équation

/'a'-h m^p^-h /l'y^— ?/;m(3y — iinlycx. — oJma^::^ o(*);

puisqu'en y faisant 7^0 pour déterminer les points où celte courbe rencontre le côté y, on obtient le carré parfait

/'a'-h /w'j3'— am/ap =: o.

Le côté / est donc tangent à la courbe» et il en est de même des autres côtés.

Cette équation peut aussi se mettre sous la forme commode

comme il est facile de s'en assurer en faisant disparaître les radicaux.

Avant de déterminer les valeurs de /, m et n, pour lesquelles celte équation représente un cercle, nous allons en déduire quelques propriétés communes à toutes les courbes du second degré inscrites dans des triangles.

En écrivant la première équation sous la forme

«y(/iy — a/a— 2m(3) -h (/a — /ii[3)'=:o,

on voit que la droite (/« — m(3) qui passe par le point (a, P), passe aussi par le point où y rencontre la courbe. Les trois lignes qui joignent les points de contact des côtés aux som-

( *} A la rigueur, les doubles rectangles a/3, a/,... pourraient avoir le double Mgne sans que la démonstration cessât de s'appliquer. Si l'on donne le signe -ià tous ces rectangles ou h l'un d'eux seulement (les deux autres ayant le signe — ); l'équation ne représente plus une courbe du deuxième degré, mais bien le carré de l'une ou l'autre des lignes Ik± mjizt. ny. La forme adoptée ici reufertne le cas où un seul des rectangles est négatif, pourvu que l'on suppose que /, /" *•* " emportent leurs signes avec eux.

mets opposés du Iriangle circonscrit ont donc pour équations

la, — m(3=:o, mp — /iy=:o, ny — /a = o,

et, par suite, se coupent au même point.

La droite ny — 2/a— 2m[3 = o est tangente à la courbe, puisque, en combinant son équation avec celle de la courbe pour déterminer leurs points d'intersection, nous trouvons le carré parfait (/a — /w(3)* = o, c*est-à-diredeux points qui coïncident; la droite la — mi^ passe d'ailleurs par le point de contact. Si donc, après avoir joint par des droites les sommets du triangle aux points de contact des côtés opposés , nous menons de nouvelles tangentes à la courbe par les points où elle est rencontrée par ces droites, ces tangentes ont pour

équations