a -\-im^ — ny = o
a m (3 4- 2 /j y — la =0,
^ny -h nia — m(3=r^o,
et rencontrent les cotés qui leur sont opposés en trois points situés sur la droite
la -f- m|3 -f- /ly -: o,
puisque cette droite passe par les intersections de la première tangente avec y, de la seconde avec a, et de la troisième avec (3.
130. La corde menée par les deux points (a', |3', y'}, {a", (3", y") de la courbe a pour équation (D^ Hart)
ail (v^^' -f- v^I^Y) -h |3 v'm ( >/y~^ -h ^Y^')
-f- y \/7i (v/^' -f- sja^') = 0;
car, en y remplaçant a, (3, y par a, (3', y', le premier membre devient
et se réduit à zéro, puisque les deux points sont sur la courbe.
En égalant respeclîvemcnt a", (3", y" à a', (3', y' dans Téquation de la corde, on oblient Tcquation de la tangente, qui se ramène à la forme
lorsqu'on la divise par ay^a'jS'/.
Réciproquement^ si la droite XaH-f/(3H-vy est tangente à la courbe, les coordonnées a', P', / du point de contact seront défînies par les relations
En tirant de là les valeurs de a', (3', y' et les portant dans Téquation de la courbe, on trouve
rH 1- -mo
pour exprimer la condition que la droite ).a -f- /jl(3 -h vy lui est tangente : c'est Yéquation langenlielle de la courbe.
Pour mieux faire ressortir la réciprocité qui existe entre les équations ordinaire et tangentlelle de la courbe, nous résoudrons le problème inverse : trouver l'équation de la courbe dont les langentes satisfont à la relation
Reprenons la nuirche indiquée au n*» 127. Les deux droites /.'a M- /x'P -4- v'y, 7^^<x -h /[a'^P -hv^'y seront tangentes à la courbe dont nous cherchons l'équation, si les quantités X', /V, v', X", |x*, v'^ satisfont à la relation précédente; mais (70) une équalion de la forme A>. -4- B/x -h Cv = o, exprimant que la droite
Xa -f- ^.p -4- vy == o
passe par un certain point, est l'équation tangentlelle de ce
l8(> CHAPITRE IX.
point : donc la relation
/X mu. nv
If. [X V V
qui est vérifiée par les coordonnées tangeniielles des deux droites, est Téquation tangentielle de leur point d'intersection.
En égalant respectivement >/, ij.\ v' à X", /ul", v", nous aurons l'équation de Tintersection de deux tangentes consécutives, autrement dit l'équation du point de contact d'une tangente. On trouve ainsi
l\ mu. nv
Les coordonnées trilinéaires du point de contact seront
alors
Si l'on tire de là les valeurs X', ]y/, v' pour les porter dans la re lation à laquelle elles doivent satisfaire par hypothèse, on obtient pour l'équation de la courbe cherchée
si la. -4- shn P H- y/ï^y —• o.
131. Les conditions pour que la courbe du deuxième degré tangente aux côtes d'un triangle soit un cercle sont (128)
m*sin*C -+- /i'sin*B-+- 2m/isinBsinC
= /i»sin'A-|- /^sin'C -f an/sin A sinC
= /'sin'B H-m»sin»A H- a/msinA sinB, ou bien
msinC -f- nsinB
— ih (/isinA 4- /sinC)
= ih (/sinB 4-msinA).
On peut mener quatre cercles tangents aux trois côtés d'un triangle, puisqu'en changeant les signes, on peut écrire ces
DU CERCLE. NOTATIONS ABftfiCfiBS. l8l
équalîons de quatre manières différentes. En prenant à la fois tous les membres positifs, on aura les équations
/sinC— m sinC -h n(sinA — sinB) z=:o, /sinB -i-/n{sinA — sinC) — /isinB = o,
doù l'on tire (12i]
/ = sinA(sinB + sinC — sinA), m = sinB(sinC 4- sinA — sInB), n =sinC(sin A -4- sinB — sinC).
Mais puisque, dans un triangle, on a
sinB-f-sinC — sinA — 4cosJ AsiniBsinjC,
ces valeurs de /, m et n sont respectivement proportionnelles à ces* y A, cos'yB, cos'yC; l'équation du cercle correspondant, qui est inscrit dans le triangle, est donc
cos^ A v'a -h cos -, B ^p -+- cos ; C v'y rz: o ( *), ou bien
a» cos« JA H- p* cos* jB-f- y» cos<|C — 2 «(3 cos' ;^ A cos'IB
— 2 (3y cos^B cos' ; C — 2 ay cos'y C cos'jA = o.
Il est facile, du reste, de s'assurer qu'elle représente un cercle en la mettant sous la forme
/ cos'Î^A oCos^^B cos*;C\, . , « . « . -nx \^—r^. — h-p-^^-f-V-T-^T- (asmA-hpsmB-i-ysinC V sinA ^ smB smL / r § 1
4cos»|Acos'iBcos»;C,^ . . , • n . a • /-x
— - r^-T— 7— i!— ;— ,r^- 3ysmA-+-yasmB + a3smC)=o.
smAsmBsmL ^' ' r /
(*) Le D*" Hart déduit ceUe équation de la manière suivante de celle du cercle circonscrit. Soient a', /3', y'ies côtés du triangle formé en joignant les points de contact; A% B', C les angles de ce triangle. L'équation chcrchoc est ( 12^ )
^'/sinA'-+-y'«'8inB'-l-a'/3'8ÎnC'=o,
mais (123), pour chaque point du cercle, on n a"=/3y, /3'*=-/«, y"=a;1; d'ailleurs A'=90® — ^ A; et en substituant ces vulcurs dans l'équation précédente, on retombe sur Téquation
cos } A ^ -h cos J B v^/S -f- cos J C ^ = 0.
l82 CHAPITRE IX.
On trouverait de même pour réqualion d'un des cercles exin scrits
oC cos*i A 4- j3' sin^ ;-B + y» sin'iC •- 2 (3y sin^ B sin' ^G
-f-'î/asin^Ccos'l A 4- 2 aj3sin'|Bcos'Y A = 0. ou bien
COS7A v^— a -+- sin^B v^p-hsinJC v^y^o.
Le signe — de « lieni à ce que ce cercle n'est pas du même côté de a que le cercle inscrit.
EXERCICE
Trouver Taxe radical du cercle inscrit et du cercle passant par les milieux des côtés du triangle.
En employant la méthode du n** 128, on trouve pour son équation
2C0s^ - A cos' - B cos' - C ( a cos A -»- & cosB -^ 7 cosC)
(cos* - A cos* - B cos* - C a — r— . — I- Ô — - ,— ■+- 7 — 7-' sinA ^ sinB ' sinC
divisant par acos- Acos-Bcos-C, le coefûcient de x devient r~ 2 2 2
cos ou
s - A ( 2 cos* - A sin- B sin - C — cos A cos - B cos - C | 2\222 22/
co3-Asin-(A — B)sin-(A — C);
par suite, Téqualion peut s'écrire
a cos - A P cos - B 7 cos - C
sm
in-(B-C) sinf(C-A) sin~(A— B) 2 . À 2
La droite qu'elle représente est tangente (130) au cercle inscrit, et les coordonnées du point de contact sont sin'-(B — Ç), sin'-(C — A)
et sin'- (A — B). II résulte de ces valeurs (66) que le point de contact
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. l83
se trouve sur la ligne des centres dont les coordonnées sont i, i, i et cos(B — C), cos(C— A), ces (A — B).
On démontrerait de la même manière que le cercle passant par les milieux des côtés est tangent à tous les cercles qui touchent les côtés. Ce théorème a été indiqué par Feuerbach (*).
132. Lorsque l'équation d'un cercle en coordonnées Irilinéaires est équivalente à une équation en coordonnées rectangulaires dans laquelle m est le coerflcient de x* et de /% le résultat obtenu en y remplaçant les coordonnées courantes par les coordonnées d'un point, exprime m fois le carré de la tangente menée au cercle par ce point. On pourra donc déterminer cette constante m en cherchant, par des considérations géométriques, la longueur de la tangente menée au cercle par un point, et en déduire alors la longueur de la tangente menée par un autre point. SI, après avoir calculé ainsi les constantes m el m' relatives à deux cercles, on divise respectivement leurs équations par m et m', la différence des résultats obtenus, qui représente l'axe radical des deux cercles, sera toujours divisible par asinA -f- (3sinB -hy sinC.
(*} M. Casey a donné, du théorème de Feuerbach, une démonstration qui peut s'appliquer au théorème beaucoup plus général du D^ Hart : Les cercles tangents à trois cercles donnés sont quatre peir quatre tangents à un même cercle. Désignons par i, 2 et 3 les cercles exinscritSi par 4 io cercle inscrit, par (iq) et (12)' les longueurs respectives des tangenlcs directes et inverses »>mmunefc aux cercles i et 2, et soient a, 5, c les côtés du triangle rangés par ordre de grandeur. La droite a ayant d*un côté le cercle i, et de l'autre Icîi cercles 3, 3 et 4, on aura (121) (c),
de même
ajoutant membre à membre, il vient
Les quatre cercles 1,3, 3 et 4 sont donc tangents à un cinquième cercle qui laisse le dernier d'un côté et les trois premiers de l'autre.
l84 GHAPITBE IX.
EXERCICES
