Trouver la condilion pour que les équa lions
soient compatibles.
Soit \ la valeur commune de chacune de ces quantités. En éliminant j-, Y et \ entre les quatre équations ox h- Aj -+- c = >, . . . , on trouve pour la condition cherchée :
ou bien
A-»-C = B-hD,
A, B, C, D désignant les quatre déterminants mineurs obtenus en supprimant la première ligne, et successivement chacune des colonnes dans le déterminant qui précède.
La condition pour que quatre droites forment un quadrilatère circonscrit peut s'obtenir en exprimant que les équations a = ^ = 7 = ^ sont compatibles. Dans ce cas, les déterminants mineurs A, B, C, D représ^ient respectivement le produit d'un côté du quadrilatère par les sinus des deux angles adjacents.
n. Trouver les relations qui lient les distances deux à deux de quatre points pris sur un cercle.
En effectuant, d'après la règle connue, le produit des deux déterminants
x\-hjr\ -2j:, -a/,
xJ-Hj-J - aj7,
ajl
Xk
qui expriment tous deux la condition indiquée au n" 9i, on trouve pour la relation cherchée
o (la)' (i3)' (14)' 1
(la)' o (a3)' (a4)' ^^
dans laquelle (12)' représente le carré de la distance des deux point^ i et ^, Le développement du déterminant conduit à Téquation
m. Trouver une relation entre les distances deux à deux de quatre points sur un plan.
Ajoutons une unité et des zéros aux deux déterminants dont nous avons fait le produit dans TExercice précédent, il vient
Nous avons maintenant cinq lignes horizontales et quatre colonnes seulement; le produit doit donc être nul. Mais ce produit n'est autre que to déterminant
1 (i4)' (a4)' (MY qui donne le développement
(i2)M34rr(iî^rH-(34)'-(i3)^-(i4)*-(23)*-(24r]
(i4)Mî^3)^[(i4)' + (23)'-(i2)»-(i3)'-(24)'-(34n (23)M34)M42)' + (i4)'(43)M3i)' + (i2)'(îi4)'(4i)'
En remplaçant dans cette équation (23), (3i), (12) par a, b^ r; (14)^ (24), (34) par R 4- r, R-h r', R-+- r', on obtient une équation du second degré en R, dont les racines représentent les rayons des cercles touchant à la fois extérieurement ( ou intérieurement) les trois cercles ayant r, r', r" pour rayons, et dont les centres forment un triangle av^ant a, b eic pour côtés.
Les solutions des problèmes des Exercices II et III sont dues à M. Cayley. (P^oir les Leçons d'Jtgêbre supérieure, traduction française, p. 27.)
lY. On peut obtenir une relation entre les longueurs des tangentes communes à cinq cercles, en suivant la même marche que dans l'Exercice précédent.
Écrivons les deux séries d'éléments
ni
yn ^ ,.'1
— ir — 'ir — 'xr
~ a.r' — 2)" — 'ir
ronlenanl chacune cinq lignes horizontales et six colonnes; leur produit doit être nul. On a donc, en suivant les règles indiquées pour la mulli- (•lîcation des déterminants, la relation
(Ur (--^4)* (34)'
dans laquelle (12) représente la longueur de la tangente commune aux deux premiers cercles. Si le cinquième cercle est tangent aux quatre premiers, les quantités (i5), (25), (35), (45) s'annulent, et on retrouve ainsi, comme c<)S particulier de la relation précédente, le théorème de M. Casey (lil) qu'on peut alors exprimer sous la forme suivante :
igo CHAPITRE X.
CLASSIFICATION ET PROPRIÉTÉS COMMUNES DES COURBES REPRÉSENTÉES PAR L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU DEUXIÈME DEGRÉ.
133. L'équation du second degré entre deux variables x et 7", dans sa forme la plus générale, peut s'écrire
ax^-\- ilixy -h fcj^-h 7.ffx 4- a/j' -+- c=r=o,
û> f>9 Cjfy gf A étant des constantes.
La nalure d'une courbe ne dépend pas de la grandeur absolue des coeïViciexMs de son équation, mais seulement de leurs rapports mutuels, puisqu'en multipliant ou en divisant tous ses termes par une quantité constante, on ne change pas la courbe qu'elle représente. Cinq relations suffisent donc pour déterminer une courbe du second degré, dont l'équation renferme six constantes, puisqu'on peut les ramènera cinq en les divisant toutes par le terme absolu, qui devient alors égal à l'unité.
Ainsi une conique est déterminée par cinq points, puisqu'en substituant aux coordonnées courantes, dans l'équation générale, les coordonnées x^y',.., des cinq points par où doit passer la courbe, on obtient entre les coefficients cinq équations qui sont suffisantes pour déterminer les cin
quantités -j -,....
^ ce
(') Nous démontrerons plus loin que la section faite par un plan dans un cône à base circulaire est une courbe du deuxième degré, et que, réciproquement, toute courbe du deuxième degré peut être placée sur un pareil cône, par suite être considérée comme une section conique. C'est du reste à ce point de vue que les courbes du deuxième degré furent étudiées d*abord par les géoctres. Ainsi dirons-nous fréquemment, pour abréger: section conique et mènu' conique, au lieu de courbe du second de^è.
