DES COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ
134. Comme nous aurons souvent à employer dans le cours de ce Chapitre la transformation des coordonnées, nous allons chercher ce que devient l'équation générale du second degré lorsqu'on transporte les axes parallèlemenl à eux-mêmes à une nouvelle origine (x', j').
Remplaçant, dans Téquation générale, x et y par x->rx\ r-^r' (n**8), il vient
Développant et ordonnant, nous voyons que les coefficicnis respectifs a, 2 A, 6 de ^S xy^ y^ n'ont pas changé, et que g,f, c ont pris les nouvelles valeurs g'yf'y c' indiquées ci-après :
g = ax' -^hy'-^g,
b'^hx' -^by'^f,
c' = ax'^-{- ikx'y' -+- l>y'*-h 2gx' -+- ?./j' ■+■ c.
Donc, si Von rapporte à de nouveaux axes parallèles aux anciens l'équation d*une courbe de second degré, les coefficients des termes du degré le plus élevé ne changent pas, et le nouveau ferme absolu est le résultat de la substitution des coordonnées de la nouvelle origine aux coordonnées courantes dans l'équation pjrimitive (* ).
135. Une courbe du second degré est toujours reiicontrte par une droite en deux points réels, coïncidents ou imaginaires.
Ce théorème résulte de ce que, pour déterminer les points d'intersection d'une droite y=^ mx '\- n avec une conique, on obtient une équation du second degré.
Ainsi les points où la conique rencontre les axes sont donnés par les équations (84)
ax^ -h igx -h c =^0, by^ -f- if y -\- c =^0,
{*) Ce théorème est également vrai pour les cqualions de degré quelconque; on le démontre de la même manière.
L*équation donnant les points d*inlerseclion s'abaisse au premier degré, lorsqu'un des termes en x^ owy^ manque dans réquation de la conique. C'est ce qui arrive, par exemple, quand, pour chercher Tinlersection de
xy* H- 2t^* -4-j:-f-5j^-|-3 = o
avec Taxe des x^ on y fait j =: o. Ce cas semble faire exception au cas général, mais l'exception n'est qu'apparenie, comme on va le voir.
Lorsque, dans l'équation du second degré
Ax'-f- 2Ba:-+-Ci=o,
le coefficient C s'annule, on ne la regarde pas comme une équation du premier degré, mais bien comme une équation
du second degré, ayant pour racines jr'=:o, x"=^ --.
De même, les racines de l'équation transformée
c(iy-^^Ki)-^^="'
lorsque A devient nul, sont -7 = 0, — -.— — — • Les racines
de l'équation primitive sont alors a;'= x , x"=^ — —» et l'équation peut encore ^êlre considérée comme étant du second degré.
Ce qui précède pourrait aussi se déduire de la valeur générale de x^ qui peut s'exprimer par l'une ou l'autre des fraclions
^ B di v^B'^^\C C
A — Bip\/B^— AC
suivant qu'on la déduit de l'équation en x ou de celle
en -•
Si donc on trouve, pour déterminer les points où une droiie rencontre la courbe, une équation du premier degré, on peut
DBS G0URBB9 DU DBUXiftMB DBGBfi. igS
regarder celle équation comme le cas limite
o.a;*-h 2Bx 4- C = o,
auquel correspond une racine infinie, et dire qu'un des points d'inierseclion de la courbe avec la droite est situé à TinOni. Ainsi, réquation citée plus haut pour exemple, pouvant
s'écrire
représente deux droites; Tune coupe Taxe des x à une distance finie de Torigine; l'autre renconlrç cet axe à Tinfini, puisqu'elle lui est parallèle.
Si, dans l'équation Ax*+ zBx + C = o, B et C s'évanouissenl à la fois, les deux racines sont égales à o; si Bel A s'évanouissent, les deux racines deviennent infinies.
On voit donc qu'en tenant compte des points situés à l'infini, ainsi que des points imaginaires, on peut dire qu'une droite rencontre loujours en deux points une courbe du second degré.
136. L'équation générale du deuxième degré, transformée en coordonnées polaires, devient (*)
(/icos'0 -h2Acos0sin0 -\- bs'\n^O)p^
-h 9.{gcosQ -4-/sin0)p 4- c = 0;
ses racines expriment les longueurs des rayons vecteurs correspondant à une valeur déterminée de l'angle 9. La condition pour qu'un de ces rayons vecteurs soit infini, c'est-à-dire qu'il rencontre la courbe à l'infini, s'obtiendra en' écrivant que le coeffîcienl de p' devient nui. On aura ainsi l'équation du deuxième degré
a + 2/itangd + fclang'O = 0
{ * ) Nous supposons Téquation rapportée à des coordonnées rectanjpilaires ;
mais ce que nous allons dire s'appliquerait encore si les coordonnées étaient
sin0 sîn(w — $) , 4o> obliques. 11 suffirait alors de remplacer x etr par -: — p , r- p \no i {,) ;
le raisonnement resterait le même.
poar déterminer les valeurs de 6, auxquelles correspondent ces rayons vecteurs; donc
On peut toujours mener par l* origine deux droites réelles, coïncidentes ou imaginaires, qui rencontrent la cohrbe à Vinfini.
Si, après avoir multiplié par p' l'équation
acos'9 4- 2Asin6cos0-f- 6sin'0 = o,
nous y remplaçons pcosô, psinÔ par leurs valeurs x et/, nous aurons, pour Téquaiion de ces deux droites,
ax^ -\- 2 hxy -\- bjr* = o.
Le deuxième point de rencontre de chacune d'elles avec la courbe se déduira sans peine de l'équation
2(g'cos0 -f-/sin0)p-+- c = o.
Comme l'origine est arbitraire, il s'ensuit que, par un point quelconque, on peut toujours mener deux droites rencontrant la courbe à l'infîni. Dans les équations qu'on obtient en prenant successivement les différents points pour origine, les constantes a, b, h ne changent pas ( iZK) : les directions des droites rencontrant la courbe à l'infîni sont donc toujours données par la même équation
rtcos'ô -h 2Asin 0COS0 -f- ftsin'ô = o.
Donc y si par un point on peut mener deux droites réelles rencontrant la qpurbe à V infini, les parallèles menées à ces droites par un autre point quelconque rencontreront aussi la courbe à V infini (*).
137. Une des questions les plus importantes qu'on puisse se poser relativement à la forme d'une courbe représentée par une équation est celle de savoir si cette courbe est limitée
(*) Ce théorème est évident géométriquement, puisque deux parallèles peuTent être considérées comme passant par le même point situé à l'infini.
DBS COURBBS DU DBOXlftMB DBGIÉ. 1^5
dans tous les sens» ou si elle s'étend à l'infini dans une certaine direction. Nous avons déjà vu qu'une équation du second degré peut représenter une courbe limitée en tous sens, qui est le cercle» ou bien un lieu s'étendant à rinflni» comme dans le cas oii elle représente deux droites. Il est donc nécessaire de trouver un critérium qui permette de distinguer facilement à laquelle de ces classes appartient le lieu représenté par une équation donnée du second degré.
Ce critérium peut se déduire facilement de ce que nous avons dit au numéro précédent; car si la courbe est limitée dans tous les sens» on ne peut mener par l'origine aucun rayon vecteur réel ayant une valeur infinie; autrement dit» on ne peut satisfaire à l'équation
a -h aA tangS -4- b tang'd = o
par aucune valeur réelle de 6.
i"* Si l'on suppose A'— a6<^o» les racines de cette équation sont imaginaires» et il n'existe aucune droite réelle rencontrant la courbe à l'infini : la courbe est alors limilée dans tous les sens et a reçu le nom &ellipse. On verra» dans le Chapitre suivant» que sa forme est celle indiquée par la/fg". 48.
Fig. 48.
a* Lorsque A*— a6>o, les racines de l'équation
a-haAtangO-h lang*Éi==o
sont réelles; par conséquent» il y a deux valeurs de 9 pour lesquelles le rayon vecteur mené par l'origine à la courbe devient infini. On peut donc» dans ce cas» mener par l'origine les deux droites réelles
ax^-\- ihxy -\' bj'*= o,
renconlrani la courbe à Tinfini. Une pareille courbe s'appelle hyperbole^ el sa forme, ainsi qu'on le montrera plus loin, est celle que reproduit la^g^. 49.
Fig.49-
3** EnHn, dans le cas où /i^— ab = o, les racines de Téqua-
tion
a ■+- 2/1 langÔ 4- tang'd = o
sont égales, et les deux directions suivant lesquelles on peut mener des droites rencontrant la courbe à l'infini coïncident. La courbe, qui porte alors le nom de parabole, a la forme indiquée par la^g'. 5o. Dans ce cas, les trois premiers termes
Fig. 5o.
de l'équation de la courbe forment un carre parfait, et cette propriété peut servir à définir la parabole.
138. Bien qu'il soit plus commode de n'étudier complètement la forme de la courbe représentée par une équation du second degré qu'après avoir simplifié celte équation, nous montrerons cependant ici comment, en partant du procédé exposé au n^'lG, on peut vérifier les indications du numéro précédent.
DES COUIBBS DU DBUXiftMB DBGRÉ. 197
En résolvant par rapport à y l'équation générale (76), on a
hx= — {hx H-/) ih^( A»— rt6) j?»-h 2( A/— ft/j )a: -f-/'— Ae.
D*après la théorie des équations du second degré, une quantité de la forme x^-^ px -4- q peut toujours se remplacer par le produit (j: — a)(ar — (3) de deux facteurs réels où imaginaires; la quantité située sous le radical pourra donc s'écrire
[h^—ab){X'-a){x — P).
Si A'— afc est négatif, celte quantité est négative, et par suite ^ est imaginaire, tant que les facteurs x — oc, x— ^ sont à la fois positifs ou à la fois négatifs. On ne peut ainsi trouver des valeurs réelles pour jr que lorsque x est compris entre a ei^; la courbe se trouve donc tout entière dans Tes-' pace limité par les droites xz=:a^ x = ^. { f7>i>n^l6, Ex. III.)
Lorsque h* — ab est positif, c'est l'inverse qui a lieu. On ne peut trouver des valeurs réelles pour j qu'en prenant pour j: dés valeurs telles, que les facteurs j? — a, or — (3 soient à la fois positifs ou à la fois négatifs. La courbe se compose alors de deux branches s'étendant à l'infini. Tune dans la région positive, l'autre dans la région négative, et séparées par un intervalle compris entre les droites j? = a, j; = ^, dans lequel ne se trouve aucun point de la courbe.
Si A' — ab est nul, la quantité située sous le radical est de l'une des formes ^ — a ou a — :r : dans le premier cas, la valeur de X 6st réelle quand x est plus grand que a; dans le deuxième, lorsque x est plus petit que a. La courbe se com* pose donc d'une seule branche s'étendant à l'infini à droite ou a'gauche de la Vigne x = a, suivant la forme de la quantité qui se trouve sous le radical.
Lorsque les facteurs a et |3 deviennent imaginaires, la quantité sous le radical peut se mettre sous la forme
(A»— rtft)[(a; — y)»4-o'];
elle est constamment positive quand /V—ab est positif, cl toutes les- parallèles à l'axe des j rencontrent la courbe.
igS CHAPITRE X.
Lorsque h^—abesi négatif, la quantité sous le radical est constamment négative, et Téquation ne représente aucune ligne réelle.
EXERaCES.
1. Construire, d'après le n*^ 1(), les courbes suivantes et en déterminer Tespèce :
RÉPONSE. Hyperbole.
5x^-1- /ixjr -h^'— 5x —- 2^— 19 = 0.
RÉPONSE. Ellipse.
RÉPONSE. Parabole.
n. Le cercle est un cas particulier de Tellipse. L'équation générale représente un cercle lorsque a = h^ h = a cos» (81 ) ; mais alors
h^ — ab = — fl' sin'w, donc
IIL Quelle est la courbe représentée par l'équation générale lorsque A = o?
RÉPONSE. Une ellipse lorsque a et ^ sont de même signe, et une hyperbole lorsqu'ils sont de signes contraires.
IV. Quelle est la courbe représentée par Téquation générale si a = o, ou si ^ = o?
RÉPONSE. Une parabole lorsqu'on a en même temps /t = o, une hyperbole dans les autres cas. La courbe rencontre à l'infini Taxe des x lorsque « = o, et Taxe des jr lorsque b= o,
y« Quelle est la courbe représentée par
x' %xy r' 2x 2j à* ab b' a b ~~ '
RÉPONSE. Une parabole touchant les axes aux points x = a^y = b,
