Lorsque, dans une équation du second degré
A:c*4-aBa:-+- C = o,
DES GO0RBB8 DU DBUXiftHB DE6BÉ. 1^9
le coefGcient B s'annule, les racines deviennent égales et de signes contraires. L'équation
(a cos'9 -h 2 A sinO cos9 -f-6 sin'Ojp»
-f- 2(grcos0 -f-/sin9)p 4- c = o
aura donc ses racines égaies lorsque les rayons vecteurs seront menés suivant la direction définie par la relation
gcos9-H/sin0 = o.
Les points de la courbe correspondant à ces valeurs de p égales et de signes contraires sont équidistants de l'origine et dans des régions opposées; donc la corde représentée par l'équation
est divisée par l'origine en deux parties égales.
Par suite, on peut, en général, mener par un point donné une corde qui soit divisée en ce point en deux parties égales.
lU). Il y a cependant un cas où il est possible de mener par un point plus d'une corde ayant ce point pour milieu. Si, dans l'équation générale, on a à la foisg=o, /=o, la quantité gcosO -i-fs'ittO est nulle, quelle que soit la valeur de 9, et alors toutes les cordes menées par l'origine ont leur milieu en ce point qui s'appelle alors le centre de la courbe.
On peut, en général, par une transformation de coordonnées, rendre nuls les coefficients g et h. Et en égalant à zéro les valeurs de g- et A (134) relatives à une nouvelle origine {x', y'), on trouve, pour les conditions auxquelles doivent alors satisfaire ses coordonnées,
ax' -{- hy + g = o, hx' -¥- bjr' -4-y=o.
Ces deux équations sont sufOsantes pour déterminer les valeurs de x' et de^', et, comme elles sont linéaires, elles ne peuvent être satisfaites que par une seule valeur de x et de j.
Donc les sections coniques ont en général un centre, et n'en ont qu*un.
Les coordonnées de ce centre, déduites de ces équations.
aOO CHAPITRE X.
sont
h}—ak ^ h^ — ab
Dans Tellipse et Thyperbole, li^—ab a une valeur finie (137), tandis que, dans la parabole. A'— ab = o, ce qui rend infinies les coordonnées du centre. Aussi Tellipse et l'hyperbole sont-elles souvent désignées sous le nom de courbes à centre, tandis que la parabole est dite dépourvue de centre. A la rigueur, on doit considérer toutes les courbes du second degré comme ayant un centre; dans le cas de la parabole, ce centre est à l'infini.
141. Trouver le lieu des milieux des cordes menées dans une courbe du deuxième degré parallèlement à une droite donnée.
Le milieu d*une corde faisant avec l'axe des x un angle 0, se trouve à l'origine (139) lorsqu'on a
g COS0 -t-/sin 9 = 0.
Transportons l'origine en un point quelconque (x', f'). Une corde parallèle à la première sera divisée par la nouvelle origine deux parties égales, si l'on a la relation
cos 9 (ax' -f- A j' -h g)-hs\nO[hx' -hby' -f-/) = o,
les quantités entre parenthèses exprimant (134) ce que deviennent les coefficients g et/ lorsqu'on passe à la nouvelle origine. Les milieux des cordes faisant avec l'axe des x.un angle 0 se trouveront donc sur la droite
cos0(aa; 4- ày-^g] 4-sin0(Aj7 -f- bjr -\-f) = o,
qui est le lieu cherché.
La droite passant par les milieux d'un système de cordes parallèles s'appelle le diamètre de ces cordes; les cordes sont les ordonnées de ce diamètre.
La forme de l'équation du diamètre montre (40) que tous les diamètres passent par l'intersection des deux droites
aX'\- h^-^ g=09 hx + bjr-hf=o, et comme ces équations sont celles qui déterminent le centre
DBS COUBBBS DU DBUXIÈHB DBGBÉ. 201
de la courbe (1^0), tous les diamètres passent par le centre de la courbe.
En faisant alternativement d = o et 9 = go« dans l'équation da diamètre, on trouve
ax -h hjr -h g=o
pour l'équation du diamètre des cordes parallèles à Taxe desx, et
hx -h bjr -^f= o
pour celle du diamètre des cordes parallèles à l'axe des j (*).
Dans la parabole^ on a h*=:ab, ou j = -j-y par suite les
droites ax -4- A/ -h gf = o et A j; -f- 6/ "+"/= ^ sont parallèles ; donc tous les diamètres d*une parabole sont parallèles. Ceci est du reste évident, puisque tous les diamètres d'une section conique passent par le centre; dans la parabole, ce centre est à l'infini, et des parallèles peuvent être considérées comme se rencontrant à l'infini.
Ce qui précède permet, étant donné un arc de section conique, de déterminer son centre et son espèce. En effet, en menant deux cordes parallèles et joignant leurs milieux, on obtient
Fig. 5i. Fig. 52.
un diamètre MM' {fig. 5 1, 52 et 53); on en détermine de roême un second NN'. SI ces diamètres sont parallèles (fig. 5i)
1*) L'équation du n® 138 étant de la forme hyz=. — (A x -h/) dz R peut se construire facilement en traçant d'abord la droite hx -\-by -^f, et prenant sur chaqse ordonnée MP de cette ligne des longueurs PQ, PQ' égales à R, alternativement an-dessus et au-dessous. On voit ainsi que chaque ordonnée e t divisée en dem parties égales par la droite hx-^by -^f.
20a CHAPITRE 1.
la courbe est une parabole; s'ils se coupent, leur point d'intersection est le centre de la courbe. Lorsque ce centre est du côté concave de Tare {fig'Si)^ la courbe est une ellipse ;
Fig. 53.
quand il est dans la partie convexe [fig, 53), c'est une hyperbole.
Les exemples étudiés dans la théorie du cercle (Chap. VI) suffisent pour donner une première idée sur la nature des diamètres dans les courbes du second degré; mais il faut bien observer qu'en général les diamètres ne sont pas perpendiculaires à leurs ordonnées. Ainsi, dans la parabole, la direction du diamètre étant constante, tandis que celle des ordonnées est variable, l'angle compris entre un diamètre et ses ordonnées peut prendre toutes les valeurs possibles.
142. La direction des diamètres d'une parabole est la même que celle de la droite passant par V origine et rencontrant la courbe à l'injini.
Les droites menées par l'origine et rencontrant à l'infini la courbe du deuxième degré ont pour équation (136)
ax^ -h 2 hxjr -f- by^ = o,
qui devient, dans le cas de la parabole, en y remplaçant h par sa valeur ^ôF,
DES COURBES DU DEUXlfcME DEGRfi. 2o3
mais les diamètres (14.1 ) sont parallèles à la droite
ax -h hx= 0, dont l'équation se réduit à
lorsque A = ^ab. Les diamètres sont donc parallèles à la droite qui coupe la courbe à TinOni, et, par suite, ne peuvent la rencontrer qu'en un seul point situé à une distance finie.
143. «Si deux diamètres d'une section conique sont tels, que l'un d^eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, réciproquement cet autre divisera en deux parties effiles les cordes parallèles au premier.
L'équation du diamètre des cordes faisant un angle 0 avec l'axe des^ est (Hl)
[ax -f- hj--^ g)-h(hx -¥■ 6j^ 4-/) tango = o.
L'angle 6' que ce diamètre fait avec ce même axe est donné
par
., aH-Atang0
tango z=— 7 î ^»
° A-+-iiang0
d'où
frtangd tange'-t-/i(tang6) 4-tange')-+- a = o.
La symétrie de cette équation montre que les cordes faisant un angle 0' avec l'axe des x ont pour diamètre une droite faisant un angle 0 avec ce même axe.
Ces diamètres, qui sont tels que l'un d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, s'appellent dia-mètres conjugués { * ).
Si dans l'équation générale on a A = o/les axes sont parallèles a un système de diamètres conjugués; car le diamètre des cordes parallèles à l'axe des x ayant alors pour équation
(*) n est évident que, seules, les courbes à centre ont des diamètres conjugué*, puisque dans la parabole tous les diamètres ont même direction.
2o4 CHAPITRE X.
ax -h g == o est parallèle à Taxe des y. De même, le diamètre des cordes parallèles aux j, ayant pour équation 6^-f-/=o, est parallèle à Taxe des x,
144-. Lorsque dans Téquation générale c = o, l'origine est un point de la courbe (81); et l'équation du second degré
(«cos*9-f- 2Asin0cos9-f-6sin'0)p*-4-2(^cos9 -f-/sin(})p= o
a constamment une de ses racines nulle. La deuxième racine
devient nulle aussi, autrement dit le rayon vecteur rencontre
la courbe en deux points, qui coïncident lorsqu'on a en même
temps
g^cosô -f-/sin9 — o.
La tangente à l'origine a donc pour équation
L'équation de la tangente en un autre point de la courbe peut se déduire de celle de la tangente à l'origine par une transformation de coordonnées, en rapportant la courbe à ce point pris pour origine, écrivant l'équation de la tangente comme il vient d'être dit, et la rapportant ensuite aux.anciens axes.
En appliquant celte méthode à l'équation générale , on obtient, pour la tangente au point (^',7'), l'équation
que nous avons déjà trouvée par une autre méthode (86).
EXERCICE
Le point (i, i] étant sur la courbe
trouver, par une transformation de coordonnées, la tangente en ce point.
(*) On prouverait de la môme manière que, dans une courbe de degré quelconque, lorsque le terme constant est nul, Torigine est sur la courbe, et que les termes du premier degré représentent la tan(;cnte à Torigine.
DES COUBBBS DU DEUXlftME DEGRÉ. 2o5
Uéqualion de celle langenle, par rapporl aux nouveaux axes, csl
9x — 5v=: o, et par rapport aux axes primitifs ,
145. Lorsque, par un point [x'y y') non situé sur la courbe, on mène des tangentes à une courbe du deuxième degré, les points de contact sont les intersections de la courbe avec une droite, ayant une équation de forme identique à celle de la tangente et portant le nom de polaire du point (x', j') (89). Et comme une droite rencontre toujours une conique en deux points, on peut toujours mener par un point (x', r') deux tangentes réelles y coïncidentes ou imaginaires à une courbe du deuxième degré ( * ).
La polaire de l'origine, ainsi qu'on l'a vu au n"* 89, ayant pour équation
est parallèle à la corde g^-^fx, qui est divisée (139) par Toriglne en deux parties égales, et qui est l'ordonnée du diamètre passant par l'origine. Donc : la polaire d'un point est parallèle aux ordonnées du diamètre passant par ce point. Ce théorème renferme, comme cas particulier, le suivant : la tangente à V extrémité d'un diamètre est parallèle aux ordonnées de ce diamètre, théorème qui, dans le cas des courbes à centre, où les ordonnées d'un diamèire sont parallèles au diamètre conjugué, devient : la polaire d'un point pris sur un diamètre d'une courbe à centre est parallèle au diamètre conjugué,
146. Les principales propriétés des pôles des polaires ont déjà été démontrées dans les Chapitres précédents. Ainsi (98) lorsqu'un point A se trouve sur la polaire du point B, récipro-
( * ) Une courbe est dite de la n'*'^' classe lorsqu'on peut lui mener par un point n tangentes. Une section conique est donc à la fois du deuxième de(;ré et de la deuxième classe; ^ais, en général, dans les courbes de dejré plus èleré, les Indices du degré et de la classe ne sont pas les mêmes.
2o6 CHàPITRB X.
quement le poinl B se trouve sur la polaire du point A, ce qu'on peut énoncer autrement :
Lorsqu'un point A glisse le long d'une droite fixe (la polaire du point B), sa polaire passe par un point fixe (B);
Ou réciproquement :
Si une droite (la polaire du point A) passe par un point fixe{B)f son pôle A décrit une droite fixe (la polaire de B).
On peut encore énoncer ce théorème :
L'intersection de deux droites est le pôle de la ligne menée par les pôles de ces droites;
Et réciproquement :
La ligne joignant deux points est la polaire de Vintersec^ tion des polaires de ces points.
Car si Ton prend deux points sur la polaire de A, les polaires de ces points passent par le point A.
On a vu (100) que si, après avçir mené par un point deux droites coupant une conique, on joint deux à deux les points d'intersection, les>droités de jonction se coupent sur la polaire du, point.
Dans le cas particulier où les deux droites coïncident, ce théorème peut s'énoncer ainsi :
Si l'on mène par le point 0 {fig» 54) une droite rencontrant la courbe aux points R', R'', les tangentes en W et R" se cou-pent sur la polaire PR du point 0.
Il peut se démontrer en observant que la polaire R'R'^ du point P passant par le point 0, le point P se trouve sur la polaire du point 0.
Nous avons vu aussi (103, Ex. III) que si, sur un rayon vecteur OR mené par Torigine, on prenait une moyenne har* monique OR entre OR' et OR'", le lieu du point R était la polaire de l'origine : donc, la droite menée par un point est divisée harmoniquement par le points la courbe et la polaire de ce point. Ce théorème a été aussi démontré au n*> 91.
DBS COURBES BU DBUXIËMB DEGRÉ. 307
Si donc on mène par le point 0 une droite quelconque OR, et si l'on joint le pôle P de cette droite au point 0, les lignes OP,
OR forment un faisceau harmonique avec les tangentes OT, or issues du point 0; car, puisque OB est la polaire de P, PTRT' est divisé harmoniquement, et alors OP, OT, OR, OT' forment un faisceau harmonique.
EXERCICES
I. Lorsqu'un quadrilatère ABCD (Jfg '55) est inscrit dans une conique, on quelconque des points E, F, G est le pôle de la droite joignant les deux
autres.
Fig. 55.
Puisque EC et ED sont deux droites passant par le point E, et que CD et AB joignent les points d'intersection de ces droites avec la conique, CD et AB se coupent en 0 sur la polaire du point E; il en est de même de AB et CB : donc la droite OF est la polaire du point £. On démontrerait de môme que.EO et EF sont respectivement les polaires des points F et 0.
n. Par un point E pris en dehors d'une conique, lui mener une tangente au moyen de la règle seulement.
Mener par le point Edeux droites quelconques EA, E^(/îg, 55), com-
ao8 GUAPITRE X.
pléter le quadrilatère comme sur la Ggure; la droite OF coupera la conique en deux points, qui seront les points de contact cherchés.
III. Dans un quadrilatère ABCD (fig, 55) circonscrit à une section conique, une diagonale est la polaire de Tinterseclion des deux autres.
Ce théorème peut se démontrer (comme celui de l'Ex. l]au moyen des propriétés harmoniques du quadrilatère. On sait (60, Ex. I) que les droites EÂ , EO, EB, EF forment un faisc^eau harmonique; mais EA, EB étant, par hypothèse, tangentes à la conique, et EF passant par leur point d'intersection, EO (i46) passe par le pôle de EF; on verrait de même que FO passe par le pôle de EF : ce pôle est donc le point 0.
\Vî. Les tangentes menées à une conique par un point (j?',r') ont pour équation (92)
(a.r'* -+- iha^y -\- by'* 4- ^gx' -f- 2/j' -+- c) 'X{ax^ -h 2/1 xy -4- by'^ — igx -h ^fy -+- c )
•==. [ax'x -+- h{x'y •+■ y'x) H- by'y -^ g[x' -h x) -hfiy' -h y) -h c]\
On peut, en y faisant ^' =:j'= o, en déduire Téquation des tangentes menées par Torigine ; mais on peut aussi, pour trouver celte dernière équation, suivre le procédé indiqué au n^'SS, Ex. IV. Lorsqu'un rayon vecleur mené par Torigine est langent à la conique, les deux valeurs de p données par l'équation
( a cos* 0 4- 2 A cos 0 sin 0 -f- 6 sin» Q) p'
-f- 2 f g-cos 6 4-/sin 0 )p -h c = o
doivent être égales, ce qui implique la condition
(acos'0 -h 2/icos0sin0 -h bsïn^6)c = {gcos0 -\-fs\n6y.
En la multipliant par p% on en déduit, pour Téquation des tangentes menées par Torigine,
{ac — g^)x^ 4- 2{ch — gf)^X-^ (^^ "~/')^' = o*
Les tangentes coïncideront lorsque les racines de celte équation seront égales, c'est-à-dire lorsqu'on aura
ou
c{abc -f- ^fgh — af* — cA') = o.
DBS COUBBBS DU DBOXlfcllB DBGBt. SOg
Celle dernière condition est satisraite lorsque c = o , c'est^ à-dire lorsque l'origine est un point de la courbe : donc» un point de la courbe peut être considéré comme V intersection de deux tangentes qui coïncident, de même que la tangente peut être regardée comme la droite joignant deux points qui coïncident.
Cette condition sera aussi satisfaite si l'on a la relation
abc -h ^fgh — af^ — bg* — cA* = o,
qui exprime (76] que l'équation du second degré représente deux droites. Pour expliquer comment il se fait que l'on retombe ici sur cette relation, il suffit de remarquer que, par tangente, on entend en général une droite rencontrant la courbe en deux points qui coïncident. Lorsque la courbe se réduit à deux droites, la seule ligne qu'on puisse mener de manière à la rencontrer en deux points qui coïncident est celle qui passe parleur point d'intersection, et puisqu'on peut toujours mener deux tangentes à une courbe du deuxième degré, les deux tangentes doivent dans ce cas coïncider avec la droite passant par {x% jr') et par ce point d'intersection.
Ii8. Si par un point 0 on mène deux cordes rencontrant une conique aux points R^ R'', S', S', le rapport des rectangles OR^OR'' et OS'.OS'^ sera constant, quelle que soit la position du point O, pourvu que la direction des cordes soit constante.
De l'équation donnée pour déterminer les valeurs de p (136), on déduit facilement
OR «OR ^= TT z  — '» — 7i — ; — L — '• — wT'
acos'd -haAcosôsmô -f-6sm'6
0 étant l'angle que forme la corde OR' avec Taxe des x; de même, 6' désignant l'angle compris entre la corde OS' et cet axe, on aura
^ "■ acos^Ô' -f- 2Acos0' sinô' -h *sin»0"
d'où
OR\OR^ gcos^y 4- 2 AcosO' sinO^ -f- fesln^y OS'. OS" ■" acos*e-+-aAcos9siae-4- frsin'ô '
Ce rapport est constant» puisque a, bel h ne changent pas lorsqu'on déplace l'origine (134), et que la direction des cordes, définie par les angles 0 et 6' qu'elles forment avec Taxe des x^ est constante.
Si, par deux points fixes 0 ei 0', on mène deux cordes parallèles OR, O'p coupant respectivement la conique aux points R', R^p^p'', le rapport des rectangles OR'. OR" et O'p'.O^ est constant et indépendant de la direction des cordes.
Ces rectangles ont pour expressions :
acos*0 -f- 2/icos6sinô -h 6sin*0
acos*6 -f-2 Acosôsinô -f- 6sin*0'
B étant l'angle fait par les cordes avec l'axe des Xy et c' la valeur que prend le terme absolu lorsqu'on rapporte la courbe
au point 0' comme origine : le rapport de ces rectangles -7 est indépendant de 6.
149. Le théorème du numéro précédent comporte quelques cas particuliers qu'il est utile d'énoncer.
1** Si le point 0' est le centre de la courbe, on a O'p' = O'p", et le rectangle O'p'. O'p" devient le carré du demi-diamètre parallèle à OR'. Donc les rectangles construits sur les segments de deux cordes qui se coupent sont entre eux dans le rapport des carrés des diamètres parallèles à ces cordes.
a® Lorsque OR est tangent à la courbe, on a OR'=OR"; le rectangle OR'. OR" devient le carré de la tangente, et, puisque nous pouvons mener par le point 0 deux tangentes, nous pourrons extraire la racine carrée du rapport trouvé plus haut, et en conclure que les tangentes menées par un point sont dans le rapport des diamètres qui leur sont parallèles.
3® Supposons enfin que la ligne 00' soit un diamètre et que les cordes OR, O'p soient parallèles à ses ordonnées : alors OR' = OR", 0'p'=0'p"; et, si A et B sont les points où le
DBS GOUBBBS DU DBUXIÈMB DEGBt. 211
diamètre 00' rencontre la courbe, nous aurons
