OR^' 0>^' A0.0B""A0'.0'B

Donc, les carrés des ordonnées d'un diamètre sont proportionnels aux rectangles des segments qu'elles déterminent sur ce diamètre.

150. Il y a un cas dans lequel le théorème du n® 148 n'est plus applicable, c'est lorsque la ligne OS est parallèle à Tune des droites qui rencontrent la courbe à l'infini : alors le segment OS'' devient infini, el la corde OS ne rencontre plus la conique qu'en un seul point situé à une distance finie.

OS' Cherchons à quelle condition, dans ce cas, le rapport ^^, ^

UK «OR

peut être constant.

Prenons, pour simplifier, OS et OR pour axes des x et des^. Puisque Taxe des x est parallèle à une des lignes rencontrant la courbe à Tinfini, le coefficient a doit être nul (138, Ex. IV), et l'équation de la courbe sera de la forme

2. hxy -i- bjr* -f- 2 gx -f- :ify -{- c = o. En y faisant successivement j^= o, a: = o, on trouve pour le segment déterminé sur l'axe des x, OS' = » et pour le

rectangle des segments faits sur l'axe des 7, OR'.OR"=:^*

Nous aurons donc

OS' __ b OR'.OR" "" 2g

Si l'on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes (134), b ne change pas et g prend la valeur Aj' + g {y' étant l'abscisse de la nouvelle origine): le rapport précédent devient alors

^{ày-hg)

Lorsque la courbe est une parabole on a A = o, et ce rapport est constant; donc, si, dans une parabole, une droite de direc--

tion donnée rencontre un diamètre, le rectangle de ses segments est dans un rapport constant avec le segment qu'elle détermine sur le diamètre.

Lorsque la courbe est une hyperbole, le rapport ne peut être constant que lorsque jr* est constant : donc, dans une A/perbole, les segments déterminés par deux cordes parallèles sur une droite rencontrant la courbe à r infini sont proportion^ nels aux rectangles construits sur les segments des cordes.

* 151 . Trouver la condition pour que la droite "kx H-|ut^-*- v = o soit tangente à la conique représentée par l'équation générale.

En substituant, dans Téqualion générale, la valeur de r tirée de X^ -*- /xj -f- v = o, pour déterminer les abscisses des points d'intersection de la droite avec la courbe, on a

(a/ji* — 2 AXjtjL -f- b7i*)x* -+■ 2(g|x* — A/xv— //xX-f- JXv)j:

-f- ( c/x* — ^fl^v -f- bv^) = o,

et la droite sera tangente lorsque les racines de cette équation seront égales, c'est-à-dire lorsqu'on aura

(afx*— 2/«Xa — 6X')(c/x»— 2/|xvH-6v') = (g^|x»— A/xv--/]uiX+6Xv)».

Développant et divisant par /x% cette condition devient

(ftc — /') X» + (oa — g^) |ul' -*- (ab — A») v»h- a (g^A — af) /xv

-f- 2 (A/— bg) vX H- 2 (/g-— cA) Xjut = o.

On trouvera plus loin une autre méthode pour obtenir cette relation, qu'on peut appeler V équation tangentielle de la courbe, et qu'on écrit souvent de la manière suivante :

AX* 4- B/x* -+- Cv» -f 2 Fjuiv 4- 2 G vX H- 2 H Xfx == o,

en posant \ = bc — /*, B = ca — g^% . . . . Les coefficients A,

B, C, 2 F, 2 G, 2 H ne sont autre chose que les dérivées de la

fonction

abc H- 2^A — af* — bg* — ch*

prises en y considérant successivement a, b, c, /, g, A comme

DBS COURBBS DU DEUXIÈME DEGBÉ. II 3

variables. Cette fonction, qui devient nulle lorsque la conique se transforme en deux droites, s'appelle le discriminant de l'équation générale du deuxième degré, et se désigne ordinai* rement par la caractéristique A.

EXERCICES

I. Former réquatioQ de la conique qui détermine des segments \ \\ pi, \jl' sur les axes.

Si Ton fait successivement j = o, j: = o dans cette équation, elle devra se réduire à

jc*— (>-hV)x-f-).V= G, V»— (pH-pi')jH-fxpi'= o; elle sera donc

Le coefficient h reste indéterminé si Ton ne se donne une nouvelle condition. On peut mener deux paraboles par les quatre points donnés puisqu'alors

n. hà polaire d'un point fixe prise par rapport aux coniques passant par quatre points donnés passe par un point fixe.

Si l'on prend pour axes deux côtés opposés du quadrilatère formé par les quatre points, Téquation des coniques sera celle de TExercice I, et l'équation de la polaire du point (x\ y') renfermera Tindéterminée h au premier degré (145) : donc la polaire passe par un point fixe.

m. Trouver le lieu des centres des coniques passant par quatre points fixes.

Le centre de la conique de l'Exercice I est donné par les équations

apitt'jr -h ixhjr— |x^'(X-t- V) = o, aAVj-h ihx — W(^ -+- p') = o, et en éliminant //, on trouve, pour l'équation du lieu,

(Test une conique sur laquelle se trouvent les intersections des trois couplk^s de droites passant par les quatre points donnés et les milieux de ces droites.

Le lieu est une hyperbole lorsque \ X', ainsi que fx et ii\ sont à la fois de même signe, ou à la fois de signes contraires ; dans le cas contraire, c'est une ellipse. Ainsi le lieu est une ellipse lorsque les deux points situés sur un axe se trouvant du môme côté de lorigine, les deux autres points

2l4 CHàPITKB X.

qui appartiennent au deuxième axe sont Vun d'un côté, l'autre de l'autre côté de l'origine, autrement dit lorsque le quadrilatère formé par les quatre points a un angle rentrant. Ceci est du reste évident géométriquement : à un pareil quadrilatère, on ne peut pas circonscrire une conique de la forme d'une ellipse ou d'une parabole, mais bien une hyperbole; et comme le centre d'une hyperbole n'est jamais à l'infini, le lieu de ce centre doit être une ellipse. Dans l'autre cas, il y a deux positions du centre à l'infini : ce sont celles qui correspondent aux deux paraboles que l'on peut faire passer par les quatre points donnés.

DE l'ellipse et DE l'hYPERBOLE. 2i5