DE L'ELLIPSE ET DE L'HYPERBOLE

§ I. — Réduction de l'êquàtion générale du deuxi6iie degré.

152. Nous pouvons simplifier beaucoup les équalions qui nous serviront dans la recherche des propriétés de Tellipse et de l'hyperbole, en prenant le centre pour origine des coordonnées. L'équation générale du deuxième degré (133) se

réduit alors à

ax^ H- 2 hxy -t- by"^ -i- c' = o ;

car (140), lorsque le centre est pris pour origine, les coefficients de X et Aey deviennent nuls. La valeur de d en fonction des coefficients de l'équation primitive et des coordonnées jr' et^' de la nouvelle origine a pour expression (134)

et peut s'écrire

(/ = [ax' -\-hx'-^g)x''h{hx''hby'-\-f)x' + gx'-^fx'-hc.

Lorsque x' et jr' sont les coordonnées du centre, les deux premiers termes s'annulent, et la valeur de c' se réduit à (140)

(*) Le résultat de la substitution des coordonnées du centre {x\jr') dans l'équation de la polaire d'un point {jo'',x")

est le même que celui de la substitution de jc'jjr' dans l'équation de la courbe, puisque les deux premières séries de termes s'annulent dans les deux cas.

2l6 CHAPITRE XI.

153. Si le numérateur de celle dernière fraclion esl nul, réqualion transformée prend la forme

ax^ -^ili xy -h hy"^ = o,

et représente (73) deux droiies réelles ou imaginaires, suivant que ah — A' esl négalif ou posilif. On relrouve ainsi la condition du n^'Tô

ahc -\- ^fgh — af^ — bg^ — cli^ =■ o,

pour que Téqualion du deuxième degré représente deux droites; car elle doil être remplie pour qu'en transportant l'origine au point d'intersection des droites, le terme absolu puisse s'évanouir.

EXERQGES.