II. Rapporter la courbe
x^-h aarr — j'-H 8-r 4- 4 J — 8= o à son centre (— 3, — i).
RÉPONSE. x' -+- IXY — j' — 22.
154.. Nous avons vu (136) que, lorsque 0 satisfaisait à la relation
acos'0-+- 2 Acos0sin0 -t- 6sin'0=:o,
le rayon vecteur correspondant rencontrait la courbe à rinfini, et en un point situé à la distance finie de l'originfî
gcosB -f-/sinô
Lorsque l'origine est le centre de la courbe, g = o,f=o, et celte distance devient aussi infinie. 11 esl donc possible de mener par le centre deux droites rencontrant la courbe chacune en deux points coïncidents situés à l'infini. Ces droites, qui, par suite, peuvent être considérées comme des tangentes ayant leurs points de contact à l'infini, s'appellent asymptotes de la courbe : elles sont imaginaires dans l'ellipse et réelles
DE LBLLIPSB BT DB L BTPERBOLB. 217
dans l'hyperbole. On verra plus loin que ces asymptotes se rapprochent d'autant plus delà courbe, qu'on s'éloifçne davanuge de l'origine » toutefois elles ne rencontrent la courbe qu'à l'infini.
Puisque les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires menées par le centre sont situés à TinOni» la droite qui les joint est aussi tout entière à l'infini; donc* d'après la définition des pôles et polaires (89), le centre peut être considéré comme le pôle d*une droite située à V infini. On arriverait â la même conclusion en remarquant que l'équation de la polaire de l'origine gx -\-fx -+- c = o se réduit à c? = o lorsque le centre est pris pour origine, et représente alors (67) une droite située à l'infini.
155. En prenant le centre pour origine, les coefficients g et/de l'équation générale s'évanouissent. Si de plus les axes forment un système de diamètres conjugués» le coefficient h s'annule également (143), et l'équation, se simplifiant encore, devient
/la?' 4- bjr^-^ c = o.
On voit facilement que toute corde parallèle à un axe est divisée en deux parties égales par l'autre; car si Ton donne, par exemple, à x une valeur quelconque, on en déduit immédiatement pour y deux valeurs égales et de signes contraires. L'angle compris entre deux diamètres conjugués n'est pas droit en général « mais il existe toujours un système de diamètres conjugués faisant entre eux un angle droit : ces diamètres sont les axes de la courbe, et les points où ils la rencontrent en sont les sommets.
Pour le démontrer, rappelons-nous ( 143) que les angles 6 et ô', que font avec Taxe des x deux diamètres conjugués, sont liés par la relation •
b tango tango' -+- A ( tango -h tangO') 4- a = o.
Si les diamètres forment un angle droit, tang 6' = -- ^ ( 25 ) ;
o ^ tangO
!il8 CHAPITRE XI.
par suile,
/lUiig'O-i- (a-~6)lang9 — A = o.
Multipliant par p% remplaçant p cos 9, p sin 0 par :c et 7, il vient
Aj7* — {a — b)xjr — hy^= o,
équation de deux droites réelles perpendiculaires l'une sur l'autre (74). Les courbes à centre ont donc deux diamètres conjugués à angle droit, et n'en ont que deux.
Ces axes, ainsi que le montre (75) leur équation, sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle compris entre les droites réelles ou imaginaires
ax^-\- 7.hxy-^ bjr^= o.
Les axes sont donc les bissectrices des angles formés par les asymptotes, et ils sont réels (75, note), que les asymptotes soient réelles ou imaginaires, c'est-à-dire que la courbe soit une hyperbole ou une ellipse.
156. Nous aurions pu arriver au même résultat, par une transformation de coordonnées, en montrant qu'il est toujours possible de trouver un système d'axes rectangulaires tel, que l'équation de la courbe par rapport à ce système d'axes n'ait pas de terme en xy. Supposons les axes primitifs rectangulaires, et faisons-les tourner d'un angle 0 autour de l'origine : l'équation transformée s'obtiendra en remplaçant respectivement X et y parjicosô — jsinô et j? sin 0 +7 cos 0 dans l'équation primitive, qui devient ainsi
a{x cos 9 —y sin 6)'+ i.h{x cos 0 — j sin 0) [x sin 0 -\-y cos 0)
+ 6(:csin0 + jcos0)*-l- c = o,
et en développant, nous aurons, pour les nouveaux coefRcients, a', 6', A',
a' = a cos'0 -h 2 A COS0 sin 0 h- 6 sin*0,
A' = 6 sin 0 COS0 -f- A(cos'0 — sin'0) — a sin 0 cos 0,
V = a sin'0 — 2 A cos0 sin 0 -f- 6 cos*0.
DE l'bllipsb it dk l'btpbrbolb. 219
En faisant A'= o, pour déterminer l'angle d que les axes de la courbe forment avec les axes de coordonnées» nous retomberons sur l'équation du n® 155, qui donne
tang2e = ^-^.
157. Le théorème suivant permet de simplifier les calculs i exécuter pour déterminer les nouveaux coefficients relatifs à la transformation d'une équation de la forme
ax^ -4- by^ + c = o.
Si Von transforme une équation du deuxième degré en passant d'un système d'axes rectangulaires à un autre système rectangulaire^ les quantités a-h b et h^— ab ne changent pas.
En effet, en ajoutant les valeurs de a' et b' calculées plus haut (1S6), on trouve immédiatement
On a aussi
aa'=a-h6H-2Asln20 -h (a — 6)cos20, 26' = aH- 6 — 2ésin29 — (fl — b)cos26;
d'où
4a' 6' = (a 4- 6)*~ [2 A sin29 -f- (a — b)cos26]\
Mais
4A'«= [2A COS29 — {a — b) sin2e]»;
donc
4(fl'ô'— A'») = (aH-6)»-4A'-(a-6)»=4(a6-A»).
Pour écrire l'équation rapportée aux axes, on a ainsi les relations
A' = o, a'-+-6'=:a + 6, a'b' = ab — h*;
elles donnent la somme et le produit des coefficients inconnus d et b'y qui se trouvent ainsi déterminés.
220 CHàPITU XI. ^
EXERCICES
I. Trouver les axes de l*e1Iipse i4«r'— 4-'v> -f- iir* = 60, et rapporter la courbe à ces axes.
L'équatioa des axes est (155)
4x"-f-6:rj— 4^-'=o, ou
(ax— j)(jr-4-2j) = o.
On a d'ailleurs
rt'= 10, b' — \5;
réquation transformée est donc
U. Rapporter Fhyperbole iix'-f-84j:v— 24)*= iSGàsesaxes. On a
/ï'-i-^'= — i3, rt'^'=— ao'i8, /i'=39, ^'=— Sa; par suite l'équation transformée est
III. Rapporter la courbe ax^-+- 2//jv4- br^-^ c = o k ses axes.
RÉPONSE
(rt-h^-R).r'-h(«-+-/^-+-R)v'=2r, R=r= 4/,»-+- (« - ^)».
* 158. Lorsqu'on passe d'un système d'axes rectangulaires à un autre système rectangulaire, les quantités a-\-b, ah — h^ ne changent pas. Cherchons ce qu'elles deviennent lorsque le second système d'axes est oblique. Conservons le même axe des Xy et désignons par (ù l'angle que le nouvel axe des/ fait avec lui. Pour transformer l'équation, il faut y remplacer respectivement ( 9 ) ^ et j par .r + 7 cos w, y sin û) ; on trouve ainsi
a'=a, A'=: a cosw H- Asincj,
6' = acos''û) + 2/1 cosw sinw -i- ésin^w,
DB L'iLLim n PB l'hTPBBBOLB. 221
d'où
a'-h6'— aA'cosw . àb'—h'^ . . ^-- = a-«-6, — :-- — = ab—h\
Donc, si l'on transforme une équation du second degrés pour passer d'un système d'axes à un autre, les quantités
a -h b — ihcos(ù ab — A' sin'ok sin'oi)
ne changent peu.
Ce dernier théorème permet de rapporter une équation aux aies de la courbe qu'elle représente, puisqu'on peut exprimer la somme et le produit des nouveaux coefficients a et & en fonction des anciens.
EXERCICES
I. Rapporter à ses axes la courbe i oa ' -h 6 xj + Sy^ = i o, pour laquelle
, 285 , ioa5 - , 2o5 16 16 ' 16
RÉPONSB. i6j:*-h 4'^'= 3^-
n. Rapporter à ses axes la conique x*— ^xy-t-y* -+■ 1 = 0, en supposant 6» = 60**.
RÉPONSE. -F* — i5y^ = 3.
m. Rapporter à ses axes la conique aa^-h ^hxy -h by=i c.
RiPONSB.
(a-i-b — a^cosw — R)x*H- (a-f-^ — 2/1 cos» -hR)/'= 2csin'<ki R»= [2A -(a-h à)cos«P -h (a - by sin*^.
* 159. Les théorèmes des numéros précédents ont été démontrés de la manière suivante par M. Boole {*),
Supposons que nous ayons à passer d'un système d'axes disant entre eux un angle g», à un autre système faisant un angle Q; en effectuant les substitutions indiquées au n"* 9, la
(*) Cambridge Math. Journ.f \\l, p. 106; et nouvelle série, VI, p. 87.
quaniiié ax^ -h 2hxx -^ bx^ deviendra a'X*-l-2A'XY-f-6'Y» (x et j étant les anciennes coordonnées, X et Y les nouvelles). De même x*-h aor/cosw -h j* deviendra X*-4- 2XY cosû -f- Y% puisque Tune et l'autre de ces deux dernières expressions représentent le carré de la distance d'un même point à l'origine. Nous aurons donc, X étant une indéterminée,
ax^ -4- 2Ajr^-4- bjr^-h X(a:*H- 2XjrC0S(ù -^X^)
= a'X»-f- 2 A'XY -4- ft' Y»-f- X(X' ■+- aXY cosw 4- Y»),
y et si nous déterminons X par la condition que le premier membre de cette équation soit un cdrré parfait, le second membre devra être aussi un carré parfait. Celte condition peut
s'écrire
(aH-X)(6 4-X)=:(A + Xcosw)%
et X sera une des racines de l'équation du second degré
X*sin*û) -+-(a -4- 6 — 2Acos(>i)X4- ab — A'=o.
Nous trouverons une équation de même forme pour déterminer la valeur de X rendant le second membre un carré parfait, et, puisque les deux membres deviennent des carrés parfaits pour la même valeur de X, les deux équations du second degré devront être identiques. Égalant donc les coefficients des termes correspondants, nous trouverons, comme plus haut,
g 4- fr — 2 A COS6) a''\-b' — 2h' cosQ ab — h} a' 6'— A" sin^oj "" sin*ii ' sin*&> sin*i2
EXERCICES
I. La somme des carrés des réciproques des demi- diamètres qui se coupent à angle droit est constante.
Soient a et ^ leurs longueurs : en faisant alternativement x = 0,7 = o dans réquation de la courbe, on aura a 7}^ c, b^"^ = c\ on voit ainsi que le théorème qui vient d*ètre énoncé n'est que l'interprétation géométrique de la constance de la somme a-^b.
DB l'bllipsb bt ob l'htpbrbolb. 1^3
n. L'aire du triangle formé en joignant les extrémités de deux demidiamètres conjugués est constante.
L'équation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués est
x' et S' étant les longueurs de ces demi -diamètres, et puisque — ^ — est constant, a'^'sin&> est constant.
m. La somme des carrés de deux demi-diamètres est constante. Puisque "^ est constant, il en est de même de
sin' d'ailleurs, a'p' sinw est constant : donc a" h- p'^ est constant.
160. Nous avons vu que Téquation d'une conique rapportée à ses axes était de la forme
B étant positif dans le cas de l'ellipse et négatif dans le cas de l'hyperbole (138, Ex. III}. (Nous avons repris ici les lettres majuscules, parce que nous allons avoir à employer les lettres a ei b avec une signification nouvelle.)
L'équation de l'ellipse peut encore s'écrire sous une forme plus commode. Supposons que les segments déterminés par l'ellipse sur ses axes soient x=^a, ^=6; en faisant j=o
dans réqualion de l'ellipse, il vient Aa' = C, d'où A = -;-,
nous trouverions de même, en y faisant / = o, B = ^ • L'équatioo de l'ellipse peut donc s'écrire ainsi
Puisque nous pouvons prendre un quelconque des axes de la courbe pour axe des x, nous supposerons que nous avons choisi cet axe de telle façon que a soit plus grand que b.
L'équation de l'hyperbole, qui, ainsi que nous le savons.
ne diffère de celle de l'ellipse que par le signe du coefficient de jr^y pourra se meure sous ta forme correspondante
Le segment déterminé par l'hyperbole sur Taxe des x est évidemment a? =± a; celui qui est déterminé sur Taxe des j\ étant donné par Téquation j^=— 6% est imaginaire; J'axe des j^ ne rencontre donc pas la courbe en des points réels.
Puisque nous avons pris pour axe des x l'axe rencontrant la courbe en des points réels, nous n'avons pas à nous occuper de la grandeur relative de a par rapport à h.
161. Trouver l'équation polaire de V ellipse y le centre étant pris pour pôle.
Nous n'avons pour cela qu'à remplacer x par pcosO, et y par psind dans l'équaiion précédente; nous trouverons ainsi l'équation
I cos'9 sin*e
qui peut s'écrire sous l'une ou Tautre des formes équivalentes
^ ""a'sin»0-i- é'cos^Ô
"" fr»4-(a'— i')sin*0"~a'— (a'— 6»)cos'e Les abréviations suivantes sont d'un usage fréquent :
La quantité e s'appelle Y excentricité de l'ellipse.
En divisant par a' les deux termes de la dernière fi action trouvée pour la valeur de p% nous obtiendrons l'équation sous sa forme la plus usitée
^ i — e*cos'6
DE l'ellipse et DE l'hTPERBOLE. 225
