Déterminer la forme de V ellipse

La plus petite valeur que puisse avoir le dénominateur i'4-(a'— ft*)sin*9 de l'expression de p* est celle qui correspond à 0 = o; le maximum de p est donc le segment a déterminé par l'ellipse sur l'axe des x.

La plus grande valeur de 6'+(a'~fr')sin*6 correspond à sin6 = i ou & = 9o<*; le minimum de p est donc le segment h déterminé par la courbe sur l'axe des^. Le plus grand rayon vecteur qu'on puisse mener du centre à la courbe est donc Taxe des Xy et le plus petit l'axe des y. En raison de cette propriété, on a appelé ces rayons le grand axe et le petit axe de la courbe.

11 est évident que p est d'autant plus grand que 6 est plus petit. Donc un diamètre est d'autant plus grand que sa direction se rapproche le plus de celle du grand axe, La forme de la courbe est par suite celle qui est représentée par la^g-. 56.

Les valeurs de p correspondant aux angles 6 = a, 0 = — a sont égales; donc deux diamètres faisant des angles égaux avec le même axe sont égaux; théorème dont la réciproque est évidente.

Cette propriété permet de déterminer géométriquement les axes d'une ellipse dont le centre est donné. En effet, les points d'intersection de la courbe avec par un cercle concentrique sont les extrémités des diamètres égaux , et les bissectrices des angles formés par ces diamètres, les axes cherchés.

163. Si l'on compare l'équation de l'ellipse résolue par rapport kjr

^26 GHAPITBB XI.

avec celle du cercle concentrique et de rayon a

on voit de suite que Ton peut construire l*ellipse de la manière suivante : Décrire un cercle sur le grand axe A A' comme diamètre, prendre sur chaque ordonnée LQ un point P tel, que le rapport de LP à LQ soit constant et égal à b:a; le lieu des points P est l'ellipse demandée.

Le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre {Jlg. 5; ) est situé tout entier en dehors de la courbe. On pourrait de

même construire l'ellipse en décrivant un cercle sur le petit axe comme diamètre, et dilatant chaque ordonnée dans le rapport de é à a : le cercle décrit sur le petit axe est situé tout entier à l'intérieur de Tellipse.

L'équation du cercle est, du reste, la forme particulière que prend celle de Tellipse lorsqu'on y fait 6 = a.

lôi-.N Trouver l'équation polaire de Vhyyerbole, En opérant comme au n° 161, on trouve

fc'cos'Ô — a'sin'0

6'— (a' -4- b') sin'0 (a'-f- 6') cos'0 — a'

Puisqu'on passe des formules relatives à Tellipse aux formules correspondantes relatives à l'hyperbole en changeant le signe de 6S on peut employer pour l'hyperbole les abrévia-

D£ l'ellipsb et db l'hypebbolb. 227

lions

c'= a* + oS e* = »

el considérer e comme \ excentricité de l'hyperbole.

£n divisant alors par a' les deux termes de la dernière eipression de p', on obtient, pour l'équation polaire de l'hyperbole,

^ e'cos^Ô — l' qui ne diffère de celle de l'ellipse que par le signe de 6*.