COS
d'ailleurs, celui qu'elles comprennent est égala 2 0 : donc, en se donnant ^ excentricité d'une hyperbole^ on se donne V angle formé par les asymptotes^ et cet angle est le double de celui qui a pour sécante l'excentricité.
EXERCICE
Trouver rexcenlricité de la conique donnée par l'équalion générale.
Nous pouvons (74) trouver la tangente de Tangle compris entro les
droites représentées par Téquation ax^-\^' T.hxy-h by^ = o, et en déduire
la sécante de Tangle moitié; ou bien suivre la marche indi([uée au
îiM57 (Ex. III).
Nous avons
R'= 4/<'-h (rt-]&)'= 4/i' — 4r/^ -H (rt -h b)\ i.±-Ji g'-^V 2R
§ II. — Tangentes et diamètres conjugués.
168. Les équations de l'ellipse et de l'hyperbole ne différant que par le signe de 6' (160), ces courbes ont un certain
avec Donc
SSO CHAPITRE XI.
nombre de propriétés communes qui peuvent se démontrer ensemble en considérant le signe de 6' comme indéterminé. Aussi les étudierons-nous à la fois, en employant en général le signe de i*, qui se rapporte à l'ellipse, et laissant au lecteur le soin de déduire les formules correspondantes relatives à l'hyperbole.
Trouver l'équation de la tangente à la courbe
au point (a^,j').
On peut la déduire de l'équation générale de la tangente (86), ou l'obtenir directement en suivant la méthode indiquée au n» 86.
L'équation de la corde qui joint les deux points (jr',j'), (x''^y") de la courbe est
ou bien
(x'-^x")x (j' +r")r x'x" xY ^ ,
En y faisant x' = x'\x' =y\ on en déduit pour l'équation
de la tangente
xx' rr'
Celte démonstration est indépendante de l'angle que font entre eux les axes de coordonnées. Lorsqu'on prend pour axes un système de diamètres conjugués, le coefficient de xjr dans l'équation de la courbe est nul (143); les coefficients de x et de j sont nuls aussi, puisque le centre est pris pour origine, et si a' et b' sont les segments déterminés sur les axes de codonnées, l'équation de la courbe devient (160)
-4- il — I •
DE l'ellipse et DE l'htpbbbole. a3i
et celle de la tangente est encore
xx' yx'
169. L'équation de la polaire du poinl(:r', j'), c'esl-à-dire de la droite qui joint les points de contact des tangentes menées par(:p%j^'), est de même forme que celle de la tangente (88, 89); elle est donc
xx' yy' xx' yt'
^^•^ =1, ou —77+ — ■
suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les axes de la
courbe on un système de diamètres conjugués.
£q particulier, Téquation de la polaire d'un point de Taxe
xx^ des X est —7^ = 1. Pour construire la polaire d'un point P, il
faudra donc mener le diamètre PC passant par ce point (C étant le centre de la courbe), et trouver sur ce diamètre un point P' tel, que le rectangle CP.CP' soit égal au carré a'* du demidiamètre : la parallèle menée par P' au diamètre conjugué de a! sera la polaire cherchée. Cette construction démontre de nouveau ce théorème du n® 145 : La tangente menée à Vextrémité d'un diamètre est parallèle à son diamètre conjugué.
EXEROCES.
L Trouver la condition pour que >jr + pij= i soit tangente à la courbe --5 -»- tî = ' •
xx Y y
Ëncomparantl6séquations^jr+/xj = i et — 5--»- yr = ^ on trouve
d*où la condition cherchée n. Trouver Téquation des tangentes menées à la courbe par (x\ r ') (92).
RÉPONSE
m. Trouver Tangle <f compris entre ces tangentes.
Lorsqu'une équation du deuxième degré représente deux droites , l'équation obtenue en égalant à zéro ses trois termes du deuxième degré est celle de deux droites menées par Torigine, parallèlement au deux premières : Tangle f dépend donc seulement des trois termes du deuxième degré de Téquation des tangentes. En développant à ce point de vue réquation de TËxercice II, on obtient (74)
IV. Trouver le lieu de l'intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.
En égalant à zéro le dénominateur de la valeur de lang f , on trouve
équation d'un cercle ayant même centre que l'ellipse.
Le lieu de rinlersection des tangentes qui se coupent sous un angle donné est en général une courbe du quatrième degri^
170. Trouver réquation, par rapport aux axes, du diamètre conjugué de celui qui passe par le point {x'^y' ) de la courbe.
Le diamètre passant par l'origine est parallèle ( 169 ) à la lan génie menée par le point (^',7'); son équation est donc
Si B et 0' sont les angles que font avec l'axe des x le diamètre primitif et son conjuguo, on aura évidemment ^
lang0 = -^;
d'ailleurs, d'après Téquaiion du diamètre conjugué (21), on a
&' x' iang{;' = -— -,
par suite,
tangO lang 9' = ;•
DE l'bllipsb et db l'bypbrbole. ^33
Celle relation aurait pu se déduire de celle du n^ Ik^. Dans le cas de Thyperbole, elle devient (168)
tang étang (;' = -•
171. Puisque dans l'ellipse tangd tangd' est négatif lorsqu'un des angles 6, 9' est aigu, c'est-à-dire quand sa tangente est positive, l'autre angle 6', 6 est obtus, puisque sa tangente est négative; donc, dans V ellipse, deux diamètres conjugués ne peuvent jamais être situés d'un même côté du petit axe, puisque ce petit axe correspond à 0 = 90^
Dans l'hyperbole, au contraire, tangStangd' est posilif; par suite, 0 et B' sont tous deux aigus ou tous deux obtus. Donc, dans rhyperbole, deux diamètres conjugués se trouvent toujours d'un même côté de l'a^e conjugué. Quand tangd est
plus petit que -» tangd' est plus grand; et comme (167) le
diamètre correspondant à l'angle dont la tangente est - est
l'asymptote qui (167) sépare les diamètres rencontrant la courbe de ceux qui ne la rencontrent pas, on voit que, dans V hyperbole, lorsqu'un diamètre rencontre la courbe en des points réels, son conjugué ne la rencontre pas. On reconnaît en même temps que chaque asymptote peut être considérée comme étant son diamètre conjugué à elle-même.
172. Trouver les coordonnées x" , y" de V extrémité du diamètre conjugué de celui qui passe par le point [x\y*) de la courbe.
11 suffît, pour cela, de résoudre, par rapport à j: et j, les équations de la courbe et du diamètre conjugué
xx' yy' x^ y*
En substituant successivement dans la seconde les valeurs de X et dey tirées de la première, on trouve sans difficulté
173. Exprimer les longueurs du diamètre [a') et de son conjugué { fc' ) en fonction de l'abscisse de r extrémité du premier.
I** On a
a'^zzzx'-hx'^f
mais
donc
a'' = b'-h ^' , x'* =b^-he^ x'\
2*» On trouverait de même
b* a* donc
On déduit de là
La somme des carrés de deux diamètres conjugués d'une ellipse est constante (159, Ex. III).
174. Dans l'hyperbole, il faut changer les signes de 6* et b^\
On a alors
La différence des carrés de deux diamètres conjugués d'une hjrperbole est constante.
Si, dans une hyperbole a=: b, son équation devient
et l'hyperbole est dite équilatère.
Le théorème précédent montre que, dans une hyperbole
équilatère^ un diamètre quelconque est égal à son conjugué.
Les asymptotes de V hyperbole équilatère forment un angle
DE l'ellipse et DE l'hyperbole. a35
droit, puisqu'elles sont données par l'équation
Aussi appelle-t-on souvent l'hyperbole équilalère : hyperbole rectcaigulaire,
La condition pour que l'équation générale du deuxième degré représente une hyperbole équilatère est a = — b; elle exprime en eflfet (74) que les asymptotes {ax^ + ^hxy -♦- hy^) forment un angle droit. D'ailleurs, si l'hyperbole est rectangulaire, elle est équilatère, puisque ( 167) la tangente de la moitié
de l'angle compris entre les asymptotes est-» et comme cet angle est de 4^ degrés, on a 6 = a.
175. Trouver la distance p rfv centre à la tangente en [x',jr' ). La distance de l'origine à la droite
xx' yr'
a pour expression (23)
I ab
mais nous savons (173) que
donc
ah
176. Trouver l'angle 9 compris entre deux diamètres conjugués.
L'angle 9 compris entre deux diamètres CP, CP' {Jig. Sg) est égal à l'angle CPT compris entre l'un d'eux CP et la tan-
génie PT parallèle à Taulre CP'. MaisCT étant la perpendi
Fig. 59.
culaire abaissée du centre sur la tangente, on a
sinCPT = § = 5-,
donc
ab
L'équation a' b' s\ï\(^ = ab montre que raire du triangle formé en joignant les extrémités de deux diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole est constante (159, Ex. II).
177. La somme des carrés de deux diamètres conjugués d'une ellipse étant constante, leur rectangle est maximum lorsqu'ils sont égaux, et sino est alors un minimum : donc les angles aigu et obtus compris entre deux diamètres conjugués égaux sont respeciivement le plus petit et le plus grand des angles que peuvent former deux diamètres conjugués.
La longueur des diamètres conjugués égaux s'obtient en
faisant a' = b' dans la relation a'^ + 6" z=za^ -^ b\ alors a'' est
la moitié de a* 4- 6' : donc
onb
smo = r-'
L'angle que ces diamètres font avec Taxe des x se déduit de l'équation
tango tango' =:—-; en y faisant tango = — tang 0', puisqu'ils font des angles égaux,
DE l'bLLIPSB BT DE l'hTPEBBOLB. 287
mais de signes contraires, avec l'axe des j:(162). On trouve ainsi
tango = -•
Si donc (167) une ellipse et une hyperbole ont mêmes axes en grandeur et en position, les asymptotes de Thyperbole coïncident avec les diamètres conjugués égaux de Tellipse.
L'équation générale de l'ellipse, rapportée à deux diamètres conjugués (168), devient x* h- j^'r= a'" lorsqu'on y fait a'= b\ autrement dit lorsqu'on la rapporte aux diamètres conjugués égaux. Elle prend alors la même forme que l'équation du cercle x'-*-^*=r', mais les axes de coordonnées sont obliques,
178. Exprimer la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur une tangente en fonction des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes.
Soient {x' yjr')\e point de contact de la tangente, p la longueur de la perpendiculaire, et a l'angle qu'elle fait avec l'angle des x. Pour mettre l'équation
xx' Yr' a» 6'
sous la forme xcosa -hrs\na=p (23), il suffit d'y faire
x' cosa x' s'"«.
a'~^ p ' ft»"" p ^
et si l'on substitue, dans l'équation de la courbe, les valeurs de x' et j' qu'on en tire, on trouve
y?' — a»cos*a-f-6*sin*a (*).
L'équation de la tangente prend alors la forme
X cosa H- 7 sina — ^à^ cos'a 4- 6' sin'a = o. La distance du point [x',x') à la tangente est donnée par
(") De même /»' = fl'*co»'«-t-*"co»*/3, a et /3 étant les angles que la perpendîcnlaîre fait arec deux diamètres conjugués.
l'expression (Si)
^a'cos^a -H b^sln^oc — ^cosa —y' sina,
pourvu que Ton considère celte distance comme positive lorsque le point (^',^') se trouve du même côté de la tangente que l'origine.
EXERCICE
Trouver le lieu de J'interseclion des tangentes qui se coupent à angle droit.
Soient /?, p' les perpendiculaires abaissées du centre sur ces tangentes, on a
/>* = à' COS'a H- b^ sin^a, p'^ = a^ sin'a -h b^ C0S*a, p^ ■+- p'^= «'-h ^'.
Mais le carré de la distance du centre à Tintersection de deux droites qui se coupent à angle droit est égal à la somme des carrés des distances de ce centre aux droites elles-mêmes. La distance de ce point d*intersection au centre est constante, et le lieu cherché est un cercle (169, Ex. IV).
179. Les cordes qui joignent les extrémités d'un diamètre à un point de la courbe s'appellent cordes supplémentaires.
Les diamètres parallèles à un système de cordes supplémentaires sont conjugués.
Considérons le triangle formé en joignant les extrémités
d'un diamètre ÀB à un point D de la courbe, puisque la droite
menée par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième,
le diamètre de la corde AD sera parallèle à BD, et celui de la
corde BD sera parallèle à AD. On peut démontrer anal^tique-
ment ce théorème en formant les équations de AD et de BD,
et en montrant que le produit des tangentes des angles que
b^ font ces cordes avec l'axe des x est égal à :
Nous pouvons maintenant construire géométriquement deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné. Si l'on décrit en effet sur un diamètre un segment capable de l'angle donné, on aura, en joignant aux extrémités de ce diamètre les points où ce segment coupe la courbe, deux cordes supplé' mentaires qui seront parallèles aux diamètres cherchés.
