DB L ELLIPSE BT DE L HYPERBOLE
EXERaCES.
L Les tangentes menées aux exlrémités d'un diamètre sont parallèles.
Leurs équations sont en effet
fr à
Ce théorème peut aussi se déduire du n^ 146, en remarquant que le centre est le pôle de la droite située à l'infini (154).
n. Une tangente quelconque menée à une section conique à centre détermine sur deux tangentes fixes et parallèles des segments dont le rectangle est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle à ces tangentes fixes.
Prenons pour axes le diamètre b' parallèle aux tangentes et son conjugué a'; les équations de la courbe et de la tangente variable seront
En £axsant alternativement x = a\ x = — a' dans la deuxième équation, on trouve pour les segments j déterminés sur les tangentes
b'^ f x'\ Leur produit
se réduit à 6" lorsqu'on exprime que le point (x', y') est sur la conique.
m. Le rectangle des segments de la tangente variable (Ex. II) est égal au carré du demi-diamètre qui lui est parallèle.
Le rapport entre le segment déterminé sur une des tangentes parallèles et le segment adjacent de la tangente variable est le même que celui des diamètres pa rallèles à ces tangentes (149); donc le rapport du rectangle des segments des tangentes fixes au rectangle des segments de la tangente variable est égal à celui des carrés des diamètres parallèles aux tangentes : le premier rectangle étant égal au carré du demi-diamètre parallèle, le second sera aussi égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente variable.
IV. Le rectangle des segments déterminés sur une tangente par deux
a4o CHAPITRE XI.
diamèlres conjugués est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.
Prenons pour axes le diamètre parallèle à la tangente et son conjugué : les équations de deux diamètres conjugués étant (170)
y' XX* vy'
les segments qu'ils déterminent sur la tangente s'obtiendront en y faisant X z=z a\ Nous aurons ainsi
xr * fi y
le rectangle de ces segments est évidemment V\
Nous aurions pu, en suivant la même marche, donner une démonstration purement analytique du théorème de TEx. III.
On déduit de là que les diamètres passant par les points d'intersection d'une tangente avec deux tangentes parallèles sont conjugués.
y. Étant donnés, de grandeur et de position, deux diamètres conjugués Oa, 0^ d'une conique à centre, déterminer les axes.
La construction suivante est fondée sur le théorème de l'Ex. IV. Par lextrémité a [Jtg, 6o) d'un des diamètres, menons une parallèle AB à l'autre ;
cette parallèle est tangente à la conique. Sur Oa prenons un point P (dans le sens Oa pour l'ellipse, dans le sens aO pour l'hyperbole) tel,
que Oa,aV =^0b , et décrivons un cercle passant par OP, et ayant son centre C sur la droite ÂB ; les droites OÂ et OB seront les axes de la courbe. En effet, puisque
ka.n^ = Oa,aV = Ôb ,
les droites OÂ et OB sont des diamètres conjugués, et comme ÂB est un diamètre du cercle, l'angle ÂOB qu'elles comprennent est un angle droit.
DK l'ellipse et DE l'hYPERBOLE. 7.^1
VI. On donne deux diamètres ; de Textrémité de l'un on abaisse une ordonnée sur l'autre : démontrer que les deux triangles ainsi formés sont équivalents.
VU. Étant donnés deux diamètres, par Textrémité de Tun on mène une tangente jusqu'à Tautre; prouver que l'on forme ainsi deux triangles équivalents.
§ Jil. — Normale.
180. On appelle normale à une courbe la perpendiculaire menée à la tangente par le point de contact.
Pour trouver l'équation de la normale à l'ellipse au point l^'^X'h *' suffit donc de former, d'après le n" 32, l'équation de la perpendiculaire menée par ( j:', r') à la tangente
On trouve ainsi
ou bien
/•' représentant, suivant l'usage (161), la quantité (^- — b^)-
Le segment CN (Jig>^\) déterminé par la normale PN sur Taxe des x
Fi{». Cl.
s'obtient en faisant r--o dans l'équation précédente, ce qui
donne
CN-r-^'r^e'j;'.
On peut dès lors mener une normale à l'ellipse par un point N pris sur l'axe, puisque de la valeur de CN on peut déduire l'abscisse x* du point de la courbe par lequel passe cette normale.
Le cercle peut être considéré comme une ellipse dont Fexceniricilé est nulle, puisque c^ = a^ — 6% el que, dans ce cas, a^=z 6»; le segment CN est alors constamment nul : donc toutes les normales menées à un cercle passent par le rentre-
181. Le segment MN de Taxe des x compris entre la normale PN et l'ordonnée PM s'appelle la sous-normale. D'après le n*» 180, la longueur MN de cette sous-normale est
MN = x' x' = — x,
La normale divise donc Tabscisse en deux segments dont le
rapport est constant.
Le segment Mï de Taxe des x compris entre l'ordonnée PM
et la tangente PT au point P est la sous- tangente,
a^ Comme CT := — (169), la sous-tangente a pour valeur
}AT = ^-x' =
La longueur de la normale PN a pour expression
PN =:PM-*-MN =7'^H--jt'''=--- (^j'>-f--^;r'M.
Mais en désignant par h' le dçmi-diamèire conjugué de CP,
la quantité comprise entre parenthèses est égale à b'^ (173);
on aura donc
PN
Si Ton prolonge la normale jusqu'à sa rencontre N' avec le petit axe, on trouve de même
, Donc le rectangle des segments PN, PN' déterminés par les axes sur la normale en un point P est égal au carré du demidiamètre conjugué de celui qui passe par P.
DB l'bllipsb et db l'htpebbolb. a43
On sait (175) que la distance p du centre à la tangente est
donnée par la relation p = — : donc ie produit de la normale
par^ la distance du centre à la tangente est constant et égal au carré du demi-petit axe.
La longueur de la normale en fonction de Tangte a qu'elle fait avec Taxe des x a pour expression (178)
P ^tf^cos'a H-^'sin'a ^i — e'sin'a
L Mener par un point donné ('^'> j') une normale à une ellipse ou à .une hyperbole.
Soit (X. Y) le point de la courbe par où passe la normale; l'équation de la normale sera alors
et, puisqu'elle passe par (x', /'), on aura
a'x'Y - b'yX = c'XY.
Les points de la courbe dont les normales passent par (x\ x') sont donc les points d'intersection de la courbe avec l'hyperbole
II. Si, par un point donné d'une conique, on mène deux cordes faisant enire elles un angle droit, la corde joignant leurs extrémités passera par an point fixe de la normale au point donné.
Prenons pour axes la tangente et la normale au point donné. L'équation de la conique sera alors
ax* -h ihxjr ■+■ bjr^ -h 2/7 = o,
car c doit être nul puisque l'origine est un point de la courbe, et g est nul (144) parce que l'axe des x\ dont l'équation est / = o, est tangent
à la courbe. Soit
• ' x^-hipxy-k-qy^^o
l'équation de deux droites menées par Torigine; roulUpliant cette équa-
244 CHAPITRB XI.
tion par a, et la retranchant de celle de la courbe, nous trouvons
Cette équation, qui est celle ( 40 ) d'un lieu passant par les points d'intersection des deux droites et de la conique, se décompose on deux :
y -~ G, 2 (// — ap) X -J- (/; — nq)y H- 2/— o;
la première représente Taxe des x tangent à la courbe, et la seconde
la corde joignant les extrémités des deux droites.
Le point où cette corde rencontre la normale (c'est-à-dire l'axe des v)
est déBni par la relation
wj — b
Mais si les droites menées par l'origine se coupent à angle droit, on w q — ~\ (74), et la longueur du segment j, déterminé sur la normale e>t constante, puisque
Si la courbe est une hyperbole équilatère « -+- ^ = o, la coi-de est constamment parallèle à la normale. Donc, si par un point d'une hyperbolo équilatère, on mène deux cordes formant un angle droit, la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde joignant leurs extrémités est tangente à la courbe.
III. Trouver les coordonnées de l'intersection des tangentes aux points Les coordonnées x et y de l'intersection des droites
sont
xx" Y y" fl* b'
if^^r'-x") ^^ - y"jc'— y'x"
IV. Trouver les coordonnées x et y de l'intersection des normales menées aux points [x\x')^ (•^% .?'")•
Rbp. a: = '- -J , y = -^(^ ''— ,
(*) Ce théorème est encore vrai si les droites sont menées de telle softe, que le produit des tangentes des angles qu'elles font avec la normale soit Cou'
2/ stant; car alors 7 est constant, et par suite le segment — '^—i est constant.
D£ l'ellipse et de l'htpbbbolb. S145
X el Y étant les coordonnées de rintersection des tangentes trouvées à lEx. précédent.
Les valeurs do X et Y peuvent se mettre sous une autre forme, puisqu'on combinant les équations
on trouve
[)onc
On peut encore écrire
§ IV. — Foyers et directrices.
182. On appelle foyers d'une ellipse deux points F, F' [Jig. 62) situés sur le grand axe, et également distants du
F'ifg, 6a.
rentre il de la quantité
Les foyers d'une hyperbole sont situés sur Taxe iransverse el également distants du centre de la quantité
Exprimer la distance d'un point de l'ellipse au foyer.
Le carré de la distance FP d'un point P {^'9 y') au foyer F
^46 CBAPITBB XI.
dont les coordonnées sont x = -+- Cy r ^= o ^ pour expression
Mais (173)
^'»-l-r"= ft'H-e'x" et 6» -f- ^^ — /i» ; donc '
fF' :=a' — ncx' -4- e^x'\
et comme c = ae, il vient en définitive
FP — rt — ex\
Nous rejetons la valeur ex' ~ a obtenue en donnant Tautre signe à la racine carrée; carx' étant toujours plus petit que a, et e plus petit que i, la quantité {ex'^ a) est constamment négative. Cette valeur ne saurait donc convenir dans le cas actuel, où nous n'avons pas à considérer la direction du ra^^on vecteur FP, mais seulement sa grandeur absolue.
Pour trouver la distance F'P du point (x^, j') à Tautre foyer, il suffit de changer le signe de c? dans les formules précédentes; par suite
F'Pz=^a-hex\
Si Ton ajoute ensemble les valeurs de ces distances, on a
FP-hF'P- 2«.
Donc /n somme des distances d'un point d'une ellipse aux foy^ers est constante et égale au grand axe.
