En appliquant la méthode précédente à l'hyperbole
nous obtiendrons la même valeur pour FP ; mais en extrayant la racine carrée, nous- prendrons le signe contraire, parce que, dans Thyperbole, x' est toujours plus grand que a, et e plus grand que i, et que, par suite, la quantité a— ex' est constamment négative. Nous aurons donc, pour le rayon vecteur dans l'hyperbole,
¥P = ex' — a;
DE l'bLLIPSB et DE l'hYPERBOLE. 2^'}
de même
donc
FP-FP =ia.
La différence des distances d'un point d'une hyperbole aux foyers est constante et égale à l'axe transverse.
Dans les deux courbes, le produit des distances d'up point au foyer ih (a* — e^x*) est égal au carré h"^ du demi-diamèlre conjugué de celui qui passe par ce point (173).
184. On peut démontrer la réciproque des théorèmes précédents en cherchant le lieu du sommet d*un trianpie dans lequel on donne la base 2c, et la somme ou'la différence 2« des deux autres côtés.
En prenant le point milieu de la base pour origine, la base pour axe des j;, et une perpendiculaire pour axe desr» l'équation du lieu sera
V.r' -t- [c 4- xf ± )/y^ -\- {c — x)' — la, ou, en réduisant,
Si Ton donne la somme des côtés, a est plus grand que c, puisque la somme des côtés est plus grande que la base : le coefficient de y^ est positif et le lieu est une ellipse.
Si Ton donne la différence, a est plus petit que c, le coefficient de J-* est négatif et le lieu est une hyperbole.
183. Les théorèmes précédents permettent de décrire d'un mouvement continu une ellipse ou une hyperbole.
Si les extrémités d'un fil sont attachées en deux points fixes F et F', il est évident qu'une pointe qui se mouvra le long du fil en le tendant constamment décrira une ellipse dont les foyers seront F et F', et dont le grand axe sera égal à la longueur de ce fil.
Pour décrire une hyperbole, fixons une règle en un point F,
t>.4B CHAPITRE XI.
(le manière qu*elle puisse tourner aulour de ce point, et attachons un fil d'une part en F', de l'autre à un point 11 de la règle^ en le faisant passer dans un anneau P [Jig- 63); le point P dé-
Fig. ()3.
crira une hyperbole lorsqu'on fera tourner la règle et glisser l'anneau en tendant le fil. En effet, F'P -h PR étant constant, il en est de même de FP — F' P. Les points F et F' sont les foyers de l'hyperbole dont l'axe transverse est égal à la différence de longueur du fil et de la règle.
186. La polaire d'un foyer s'appelle directrice de la sectioi» conique. La directrice est donc (189) perpendiculaire au grand
axe et située à une distance ± — du centre.
La distance d'un point de la courbe à une directrice est
X zrr.-la — ex'] r. - [a — ex' ) ;
d'ailleurs, celle de ce point au foyer correspondant esl^i—^jc': donc la distance d'un point de la courbe au foyer est dans le rapport constant de e à i avec sa distance à la directrice.
Réciproquement , on peut définir une section conique comme le lieu d'un point tel, que sa distance à un point f\\Q foyer) soit dans un rapport constant e : i {Jlg, G4) avec sa
Fiç.6/|.
distance à une droite fixe (directrice). C'est même sur cette
DE l'bLLIPSK et DE L*BYFBRBOLB. ?.49
définition que plusieurs géomètres ont basé la théorie des sc^clions coniques.
Prenons la droite fixe pour axe des x^ et soient x\r' les coordonnées du point fixe, e le rapport conslani; Téquation du lieu sera
et repréjsentera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que e sera inférieur, supérieur ou égal à l'unité.
EXERCICE
Si une court)e est telle, que la distance p d'un quelconque de ses points (x, x) à un point fixe puisse s'exprimer par une fonction rationnelle et linéaire des coordonnées x,j, cette courbe est une section conique ayant le |M)int fixe pour foyer (*).
Cette distance p peut s'exprimer par
et conim« Xj- -i- B^ -h C est proportionnel à la distance du point u-, /) à la droite (Aj: ■+■ B/ h- C ~ o), cette équation exprime que la distance d'un point (j:, jr) de la courbe au point fixe est dans un rapport constant avec sa distance à une droite fixe.
187. Trouver la distance FT du foyer F ri une tangente PT (fig^ 62 ).
La distance du foyer F ( -h c, o) à la tangente PT, dont l'é-
X X 'K y quatîon est -— p -4- —jr^ =^ 1, a pour expression (3^)
rx
