FT
Mais (175}
y a* b' ab
(•> G* Rkir:«, Coordinatc Geometrr^ p. 85.
^5o CHAPITRE XI.
donc
On trouverait de la même manière
puisque
Le produit des distances des foyers à une tanf^ente est constant et égal au carré du demi-petit axe.
Celle propriété est commune à l*ellipse et à Thyperi^ole.
188. La tangente TT' fait des angles égaux avec les rayons vecteurs PF, PF', qui vont du point de contact P aux deu.T foyers F et F' (fig> 62, 65).
On a
b' ' FP" b''
mais
FT
pp =sinFPT.
Le sinus de l'angle que le ra^on vecleur FP fait avec la tangente TT' est ainsi égal à ^; un calcul analogue conduirait à
la même valeur pour le sinus de Tangle F'PT' que l'autre rayon vecleur F'P fait avec la tangente PT'. Ces deux angles sont donc égaux.
Cette propriété est vraie pour Tellipse et l'hyperbole; mais
Fi g. G5.
en examinant lesyîgf. 62 et 65, on voit que la tangente à l'ellipse
DB l'bllipbb bt db l'htpbrbolb. 'ïSi
est la bissectrice extérieure de l'angle formé par les rayons vecteurs allant du point de contact aux foyers, tandis que la tangente à l'hyperbole en est la bissectrice intérieure.
Donc une ellipse et une hyperbole homofocales {By^ni même foyer) se coupent à angle droit, c'est-à-dire de telle sorte que leurs tangentes respectives aux points d'intersection soient perpendiculaires.
EXERCICES
I. Démontrer analytiquement qu'une ellipse et une hyperbole homofocales se coupent à angle droit.
Les coordonnées .r', y' de l'intersection des coniques
satisfont à la relation
obtenue en retranchant la deuxième équation de la première. Mais si les coniques sont homofocales a^— a'^ — // — A", et alors la relation devient
ce qui est la condition (32) pour que les deux tangentes
x.r* Y y' xx' rr'
a' h' ' fi" h"'
soient perpendiculaires.
II. Trouver la distance du centre à la tangente, estimée parallèlement à Tun des rayons vecteurs allant du point de contiict aux foyers.
Elle s'obtient en divisant la dislance -jr du centre à la tangente par le
sinus T7 de l'angle compris entre le rayon vocteur et la tangente ; elle
est donc égale à a,
m. Vérifier que la normale, qui est la bissectrice de l'angle compris entre les rayons vecteurs focaux, divise la dislance des foyers en deux segments proportionnels aux rayons vecteurs adjacents.
?.52 CHAPITBB XI.
La distance du pied de la normale au centre est c^x' (180); ses distances aux foyers sont donc c h- e^x\ c — (:^x\ et par suite respectivement égales aux produits de /i -h ex\ a — ex' par c,
IV. Mener à l'ellipse une normale par un point du petit axe. Le cercle passant par le point donné et les deux foyers coupe l'ellipsi^ en des points qui appartiennent aux normales cherchées.
