FT.F'T':^ F^F
ou
FT Mais -rr- est le rapport des sinus des angles partiels TPF,
FP/ déterminés par la droite PF dans l'angle total TP/; de
W V même =77^7 est le rapport des sinus des angles partiels ^PF',
F'PT' déterminés par la droite PF' dans ce même angle TP/ : donc les angles TPF, f'PF' sont égaux.
La tangente menée en P à une section conique passant par ce point P et ayant F et F' pour foyers fait des angles égaux avec les rayons vecteurs FP, F'P (188); par suite de ce que nous venons de démontrer, cette tangente fait aussi des angles égaux avec les droites PT, P/ : donc les deux tangentes PT,
DE l'kllipse et DE l'hypbrbolr. ^53
P/ menées à une conique par un point P d'une conique homofocale sont également inclinées sur la tangente menée en P rt la deuxième conique.
190. Trouver le lieu des projections d'un foy^er sur les tangentes.
La longueur de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tanf^ente peut s'exprimer en fonclion des angles que rette perpendiculaire fait avec les axes en faisant dans la formule
p =z ^a^ cos^a-h fc'sin'a — x'cosa — r' sina
du n* 178, x' = c, r' =^ o : on trouve ainsi , pour Téquation polaire du lieu,
p rz: ^fi^ cos'a -♦- h- sin'a — c rosa,
oïl
p -♦- icp cosa -f- c' cos'a — : rt' cos'a -h h' sin'a;
par suite
p^-h ^cp cosa rr: ft».
Cest réquation polaire d'un cercle (95) ayant son centre sur Taxe des x à une distance — e du foyer; ce cercle est ainsi concentrique à la conique : son rayon est égal à a.
Donc la projection d'un foyer sur une tangente à V ellipse ou à l'hyperbole se trouve sur le cercle ayant pour diamètre le grand axe de l'ellipse ou Vaxe transverse de l'hyperbole.
Réciproquement, si par un point F [Jig. 62), on mène un raron vecteur FT à un cercle, et une perpendiculaire T^ à FT, cette perpendiculaire TP sera tangente à une section conique ayant F pour foyer, et qui sera une ellipse ou une hyperbole, suivant que le point F sera à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle.
En' se reportant au n"" 188, Ex. II, on voit que la ligne CT, dont la longueur est a, est parallèle au rayon vecteur F'P aboutissant au foyer.
191. Trouver l'angle sous lequel est vue du foyer la tangente menée à une section conique à centre par le point (x, y).
Soient (^fX') '^ point de contact; p et p' les rayons vecteurs menés par le foyer aux points (x, j), (x'y y'); 9 el 0' les angles que ces rayons vecteurs font avec Taxe; on aura, en prenant le centre pour l'origine,
COS0:r=— "tf, Sin0=-^, COS 0' = ^'-^^'^ , sin(?'=r-lj.
Donc
En substituant, dans cette expression, la valeur de xx' tirée de réquation de la tangente
on trouve
pp' cos(0 — Q') = xx' -^ ex -^ ex' -4- c' ^ xx^ -\- b^
= e^ X x' -^^ e X -\- ex' -\- a}:=(a-^ex){a -\-ex' )^ et, comme p - ■ a-¥- ex\ on a en détinitive (*)
ta G, ^ a -h ex
Celte valeur ne dépend que des coordonnées x et r du point {x, x) Gt ne renferme pas celles du point de contact; donc les angles sous lesquels sont vues, du foyer, les deux tangentes menées par le point [XfX) sont égaux. Par suite, l'angle sous lequel une eorde est vue dufoxer a pour bissectrice la droite menée par le foxer au pôle de la corde.
192. La droite joignant le foxer au pôle d'une corde menée par ce foxer est perpendiculaire à cette corde.
Ce théorème peut se déduire du précédent en observant que Tangle sous lequel est vue la corde est alors de i8o degrés, ou bien se démontrer directement de la manière suivante :
(*) 0' Brien, CoordiniUe Geometrj^ p. i56.
DE l'ellipse et DE l'hypeibole. 0,55
La perpendiculaire, abaissée d'un point {x\ y') «ur la polaire de ce point
XX' vv'
a' ^ h^ -'• a pour équation
a} Mais, quand (x', j') se trouve sur la directrice, on a j;' - — *
et l'équation de la polaire ainsi que celle de la perpendiculaire sont satisfaites par les coordonnées du foyer a: = c, j^ — o.
Lorsqu'une courbe est exprimée en coordonnées polaires, on appelle sous-tangente polaire le segment déterminé par la tangente et le pôle sur la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur. Le théorème que nous venons de démontrer peut alors s'énoncer de la manière suivante :
Le foyer étant pris pour pôle, la directrice est le lieu des extrémités des sous- tangentes polaires.
Nous prouverons plus loin ( Chapitre XIl ) que les théorèmos énoncés dans ce numéro et le précédent sont encore vrais dans le cas de la parabole.
EXERCICES
L L'angle sous lequel est vu du foyer le segment déterminé sur uno tangente mobile par deux tangentes fixes est constant.
Cet angle est(19i) la moitié de celui sous lequel est vue la corde de contact des deux tangentes fixes.
n. Si une corde PF coupe la directrice en D (Jig.^y), la droite FD
Fig. 67.
est la bissectrice extérieure de l'angle PFP'.
a56 CHAPITRE XI.
En effet, T étant le pôle de PP', FT est la bissectrice intérieure de l'angle PFP' (191); mais D est le pôle de FT puisqu'il se trouve à l'interseclion de PP' polaire de T, et de la directrice qui est la polaire de F ; par suite DF est perpendiculaire à FT : donc DF est la bissectrice cxlérieure de l'angle PFP'.
(Les théorèmes suivants fondés sur l'analogie qui existe entre les équations de la tangente et de la polaire m'ont été communiqués par le Rév. W.-D. Sadleir. )
III. La perpendiculaire abaissée d'un point d'une ordonnée fixe de Taxe sur la polaire de ce point passe par un point fixe de Taxe.
Le segment déterminé sur l'axe par cette perpendiculaire a pour valeur e^x* (180); il sera constant lorsque x' sera lui-même constant.
IV. Trouver les dislances du centre et du foyer à la polaire du poini
V. Sur une corde TT' (y%'.G8) on abaisse des perpendiculaires FG, F'G', CM, PN, des foyers F, F', du centre C d'une conique et du pôle P cU»
Fig. 68.
